淺論高等數學中極限理論的教學

彭新俊

摘要： 極限理論描述了變量在無限變化過程中的目標函數的變化趨勢，是高等數學的重要基礎，也是學習高等數學的難點之一。在高等數學的教學過程中，向學生系統講解極限的重要意義與地位對高等數學學習具有十分重要的意義。

關鍵詞： 高等數學極限理論教學過程

現行高等數學的課程主線，可歸納為：函數→極限→連續→微分學及應用→積分學及應用→常微分方程→無窮級數。除了第一部分作為最簡單的基礎內容之外，其余教學內容的一個核心思想其實就是圍繞極限這一概念展開的。事實上，極限理論是人們認識無限變化的偉大思想，這種思想的運用擴大了人們的思維空間。同時極限也是微積分中最基本、最重要的概念，它從數量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，是構成微積分的基礎。因此，在學生學習過程中，我們要把極限當做一個極其重要的知識點進行展開。那么，在教學過程中體現并讓學生理解極限的重要意義與地位成為學生學習高等數學的重要內容。在教學過程中，我們需要從以下幾個方面進行展開與討論。

一、極限理論的歷史

極限的思想和方法是社會實踐的產物，其萌芽可追溯到古代。在古希臘、中國和印度數學家的著作中，已不乏樸素的極限思想，如用無限趨近概念計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。

古希臘的安提芬最早表述了“窮竭法”，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。后來，古希臘數學家歐多克斯改進了“窮竭法”。將其定義為：“在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重復這個過程，可以使剩下的量變得任意小。”“窮竭法”被后人稱為阿基米德原理。古希臘數學家阿基米德將“窮竭法”發展成“括約法”，并將其廣泛應用于求解曲面面積和旋轉體體積。用此方法來證明圓面積時，不僅利用圓內接正多邊形，而且用圓外切正多邊形把圓的面積“括約”在十分接近于圓的外切與內接正多邊形的面積之間。這一方法盡管沒有明確提出極限的概念，但已經蘊含了極限計算的重要方法之一的迫斂性。

在中國戰國時期的《莊子?天下篇》中有一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這是我國較早出現的極限思想，也是最簡單的數列{}的極限問題。又如我國魏晉時期的數學家劉徽在注釋《九章算術》時創立了有名的“割圓術”。他的極限思想是：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失。”他創造性地將極限思想應用到數學領域，這種無限接近的思想就是極限概念的基礎。劉徽首先考慮圓內接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。按照這種思想，他一直算到內接正192邊形的面積，得到π≈3.14，之后又算到內接正3072邊形，得到π≈3.1416，這在當時是非常了不起的。

到了16世紀以后，歐洲生產力得到極大發展。生產和科學技術中存在大量的變量問題，如曲線切線問題、變力做功問題等，初等數學方法對此越來越無能為力，需要的是新的數學思想和方法，突破只研究常量的傳統范圍，提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，給出了數列極限的描述性定義：“如果當n無限增大時，a無限地接近于常數A，那么就說a以A為極限。”之后，維爾斯特拉斯為了排除極限概念中的直觀痕跡，建立了ε-N語言，給微積分提供了嚴格理論基礎。所謂a以A為極限，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數N，使得當n＞N時，不等式|a-A|＜ε恒成立。”這個定義，借助不等式，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，其作為科學論證的基礎，至今仍被廣泛使用。

在引入極限定義之前，可適當介紹以上關于極限產生的歷史背景，以激發學生的認知欲，提高他們的學習興趣，同時對提高學生的數學修養也是大有裨益的。

二、極限理論的學習

以上極限定義的ε-N語言盡管精確地描述了極限的定義，但在內容上表現為術語抽象，符號陌生。因此，作為教學重點和難點之一的極限理論，教師感到難教，學生感到難學。極限理論以其獨特的研究方法和動態的變換方式為學生展示了一個想象空間：以變量及變量之間的聯系為思維對象，運用無窮小量分析變量的變化過程，從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變……無不貫穿著深刻的辯證思想。極限理論實質上是一種無限逼近的思想方法。

然而，學生習慣于靜止的、有限的、單一的和直觀的情境，而不習慣在運動變化中探討事物規律，不習慣表達極限概念的語言模式。如他們并不注意觀察數列的變化趨勢，著眼點往往放在數列的“終點”上，注意力缺乏整體性；對符號a，ε，n＞N，|a-A|＜ε等不習慣在變化中理解其相互關系，對關鍵字句的數學意義不求甚解，對形成ε-N意義的必然性不重視，在具體表達時或任意增刪字句，或順序顛倒造成邏輯混亂，對極限概念的形成缺乏感性認識。從而導致在學習極限理論的初始階段容易心理失去平衡，喪失對高等數學的興趣。因此極限教學應力求直觀，讓學生動口動手動腦，由感性到理性，由特殊到一般，由有限到無限，逐步掌握極限概念的思維方法。

簡而言之，我們在教學過程中要從具體問題出發，讓學生充分掌握ε的任意性。1.ε是預先給定的任意小正數，它具有兩重性：就整個極限過程來看，ε具有絕對的任意性；就極限過程某個片段看，ε具有相對固定性，即一經給定，就需找到合適的N，當n＞N時有|a-A|＜ε。絕對任意性是通過相對固定性表現出來，這就反映了a接近于A的近似關系與a的極限是A的精確關系。2.找出項數N是關鍵，N相對ε而存在，ε愈小，N愈大。同時N對給定的ε又是不唯一的，存在無限多個。3.在“ε-N”定義的|a-A|＜ε中，a表示當n＞N時，a以后的所有項。4.當A為數列{a}的極限時，A是唯一存在的，表示的是當n無限增大時，a趨向的目標。以上僅是極限定義的教學過程中所需注意的關鍵事項，在教學過程中，我們應從具體數列出發，并結合中學階段的數學方法，實現學生從感性、具體出發到達理性與一般性，從而深入掌握ε-N語言。以上僅是對極限定義教學過程中的一些理解，對于后續的極限計算，仍有大量需要注意的問題。

三、極限理論與微積分

微積分所研究的對象是函數，所用的方法可以說就是極限，從方法論的角度來說，這是微積分區別于初等數學的顯著標志。極限是整個微積分的理論基礎，在微積分中幾乎所有重要概念都離不開極限。

首先，極限為微積分注入嚴密性。微積分產生于17世紀后半葉，從創立到基本完善經歷了大約三個世紀的時間。在牛頓創立微積分的過程中，導數概念和微積分理論體系中最多只用到了極限的直觀描述，這導致在認識上很容易接受之余卻不能令人信服和承認。直到19世紀初，柯西與維爾斯特拉斯等人發展了極限理論，用這些理論對微積分進行了嚴密化，并得到各反對派的普遍認可，微積分理論才得以迅速發展。事實上，極限理論是微積分的真正抽象。

其次，極限實現了有限與無限之間的轉化。現實世界中的有限和無限在人們的頭腦中有著本質的區別。然而，有限和無限在一定條件下可以相互轉化。而微積分正是巧妙地應用極限實現這一轉化取得的重大成果。如，對極限a=A的ε-N定義過程中就實現了這一轉化。該定義不僅從一個側面反映了過程的無限增大，以及a的無限接近于A，而且有限值A體現了a的主要部分和無限變化過程。又如，在導數的定義中，同樣體現了化有限為無限的過程，用無限來認識有限的問題。為了確定瞬時變化率（導數），我們首先考察某一區間內的平均變化率，然后設想區間逐漸縮小并推廣到無限，那么平均變化率就經歷一個無限變動過程后轉化為導數。類似的例子還體現在定積分定義、級數理論等微積分具體問題中。

最后，極限理論實現了微積分中連續與不連續這一對有本質區別的問題的在一定條件下的轉化。如，對定積分的定義過程中，只要劃分的間隔充分小，我們就可將離散的求和形式通過極限理論轉化為連續量在某一區間上的定積分。又如，在關于連續和間斷的討論中，這一對重要的矛盾概念可以通過極限理論得到統一化處理，并可將可去間斷點轉化為連續點。這些方面都無一例外地體現了極限實現了連續與不連續的相互轉化和統一。

參考文獻：

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