數學解題中的化歸思想

李健紅

化歸思想就是把待解決或難解決的問題，通過某種轉化手段，使它轉化成已經解決或比較容易解決的問題，從而求得原問題的解答.化歸思想是一種最基本的數學思想，學習和掌握轉化思想，有利于我們從更高層次上去揭示、把握數學的知識、方法之間的內在聯系，樹立辯證的觀點，提高分析問題和解決問題的能力.

一、化歸的基本思想

“化歸”就是轉化與歸結的簡稱.化歸方法是數學上解決問題的一般方法，其基本思想是：在解決問題數學問題時，常常將有待解決的問題P，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題Q，而問題Q是一個相對比較容易解決或者已有明確解決方法的問題，且通過對問題Q的解決可以聯想到問題P的解決.用框圖可以直觀表示如下：

其中，問題P常被稱作化歸對象，問題Q常被稱作化歸目標或方向，其轉化的手段也就被稱作化歸途徑或者化歸策略.

二、化歸的基本原則

在處理數學問題的過程中，常將有待解決的陌生、不熟悉的問題通過轉化，將它歸結為一個或幾個比較熟悉或者比較簡單的問題來解決.這樣就可以充分運用我們已有的知識、經驗與方法來幫助我們處理和解決問題；將抽象的問題轉化為具體直觀的問題；將復雜的問題轉化為簡單的問題；將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題；將實際的問題轉化為數學問題；將不同數學分支的知識相互轉化，較多見于平面與空間、解析與三角、代數與幾何，等等，從而使問題易于解決.

三、化歸的基本類型

1.常量與變量的轉化

在處理多變元的數學問題時，可以選取原來是常量或參數看做“主元”，而把原來的變元看做“常量”，從而簡化其運算的策略.

例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數，問a何值時，原方程至少有一個整數根.

分析：若采用方程求根公式x=來討論x的整數值，顯然十分復雜.在原方程中，x是變元，a是參數，不妨把a與x的位置換一下，把a看做變元，x看做參數來處理.

解：將原方程以a作變元，重新整理，得

a（x+2）=2x+7①

顯然，當x=-2時，①式不成立.因此，有

a=（x≠-2）②

若要a為正整數，則須2x+7≥（x+2）

解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分別代入②式中即知，僅當x=-3，x=-1和x=1時能使a為正整數，此時分別有a=1和a=5，即當a為1或5時原方程至少有一個整數根.

2.數與形之間的轉化

數與形是數學的兩個主要研究對象，通過數與形的轉化，可以利用數量關系的討論來研究圖形的性質，也可以利用幾何圖形直接地反映函數或方程中變量之間的關系.

例2.求函數f（x）=的值域.

分析：本題的難點在于根號難以處理，若使用單純換元法難以奏效.結合直線的斜率的幾何意義，可以構造半圓來處理根號.

解：設y=，則

f（x）==，于是所求y的值域就是求定點A（1，-2）與半圓y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的動點P（x，y）所確定的直線PA的斜率的范圍.由圖1知直線PA的A（1，-2）斜率為［1，+∞），即f（x）的值域為［1，+∞）.

圖1

3.一般與特殊的轉化

若要處理的數學問題從正面不易找到著手點時，一般性難以解決的問題，可以考慮從特殊性的問題來解決；反過來，特殊性難以解決的問題，也可以考慮從一般性的問題來解決.

例3.設f（n）=++…+（n∈N），那么f（n+1）-f（n）等于（）

A.B.C.+D.-

分析：本題可以直接算出f（n+1）與f（n），再算出f(n+1)-f(n)的結果也是行得通的，只是較麻煩.考慮f（n）對所有的自然數都成立，故只取特殊值檢查即可.

解：取n=1，則有f（2）-f（1）=（+）-=顯然只有-=-=，因此選D.

4.相等與不相等之間的轉化

相等與不相等是兩個不同意義的概念，在一些特定的條件下是可以互相轉化的，這些轉化可以使原問題變得簡單.

例4.若正數a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是 .

分析：結論要的是關于ab的，而條件給的是a+b的關系，因此需要把a+b轉化為ab的關系.聯想到均值不等式a+b≥2，將原等式轉化為不等式處理.

解：由a、b為正數，知a+b≥2.

又由已知ab=a+b+3，所以ab≥2+3

即（）-2-3≥0

解得≤-1（不符合平方根的意義，舍去），≥3

∴ab≥9，即ab的取值范圍是［9，+∞）.

5.實際問題與數學模型的轉化

這種思想，實質上是數學建模的思想.數學建模的關鍵是如何將實際問題轉化為一個數學問題，從而解決它.需要具有一定的文字閱讀能力、理解能力，對數學知識的應用能力.

例5.經市場調查，某商品在近100天內，其銷售量和價格均是時間t的函數，且銷售量近似地滿足關系g（t）=-t+（t∈N，0＜t≤100），在前40天內價格為f（t）=t+22（t∈N，0≤t≤40），在后60天內價格為f（t）=-t+52（t∈N，40＜t≤100），求這種商品的日銷售額的最大值（近似到1元）.

分析：由于在實際中，銷售額=銷售量×價格，因此可以建立函數關系式.

解：前40天內日銷售額S為：

S=（t+22）（-t+）=-t+t+799

∵S=-（t-）+799+9

∵0＜t≤40，t∈N

∴當t=10或t=11時，S=808.5≈809

后60天內日銷售額為：

S=（-t+52）（-t+）=t-t+

∴S=（t-）-

∵40＜t≤100，t∈N，

∴當t=41時，S=714

綜上所述，當t=10或t=11時，S取得最大值，且S≈809.

答：第10天或第11天日銷售額的最大值為809元.

6.各數學分支之間的相互轉化

中學的數學分支較多，雖然知識點各有不同，但它們之間卻有很多聯系，因此，把數學的各個分支相互轉化是一個重要的解題策略.比如說立體幾何中問題，有很多都是轉化為其他分支的知識來解決的.

例6.如圖2，在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

圖2

（1）求證：SC⊥BC；

（2）求側面SBC與底面ABC所成的二面角大小；

（3）求異面直線SC與AB所成的角的大小.

分析：立體幾何中的線線、線面、面面的位置關系大都可以通過轉化，由此建立它們的相互關系，從而使問題得到解決.

證明：（1）由已知∠SAB=∠SAC=90°，知SA⊥SB，SA⊥AC.顯然AB與AC相交于點A，所以有直線SA⊥平面ABC.由于∠ACB=，即有BC⊥AC，由三垂線定理，可得SC⊥BC.

（2）∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是側面SCB與底面ABC所成的二面角的平面角.

在直角三角形SCB中，由BC=，SB=，得

SC===4.

在直角三角形SAC中，由AC=2，SC=4，得

cos∠SCA==

所以∠SCA=，側面SBC與底面ABC所成的二面角大小為.

（3）如圖3，過點C作CD∥BA，過點A作BC的平行線，交CD于D，連接SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角，又四邊形ABCD是平行四邊形.

圖3

BC=AB==

SA==2，

SD=+=5

在△SCD中，cos∠SCD=

==

所以，SC與AB所成的角的大小為arccos.

數學教育和素質教育所提倡的“過程教學”中的“過程”指的是數學概念、公式、定理、法則的提出過程、知識的形成發展過程、解題思路的探索過程、解題方法和規律的概括過程.只有在平時的學習中注意了這些“過程”，才能提高自己獨立解決問題，自主獲取知識，不斷探索創新的能力；也只有利用所學數學知識去探求新知識領域，去研究解決實際問題，才是數學教學與學習的最終目的.

參考文獻：

［1］錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學.北京：北京師范大學出版社.

［2］薛金星.怎樣解題.北京：北京教育出版社.