如何用軸對稱求最短距離

魏祿山

摘 要：如何解決用軸對稱就最短距離，可以從三個方面來解決：第一，已知直線上尋找與同側兩點距離之和最小的點；第二，折線段長的最值問題，可以通過多次軸對稱變換，利用兩點之間線段最短求最值；第三，在已知直線上尋找與異側兩點距離之差最小的點。文章從這三個方面進行了舉例說明。

關鍵詞：軸對稱；線段；最短距離

在研究幾條線段長之和（差）的最小或最大值時，常常需要把這些線段集中到一起，然后將其與某條長度固定的線段進行比較。把其中的部分特殊點進行恰當的軸對稱變換，是實現這一目標的有效手段，現舉例說明。

一、為了在已知直線上尋找與同側兩點距離之和最小的點，可通過軸對稱變換，把同側兩點轉化為異側兩點，再利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”來確定

例1 如圖1，牧童在A處放牧，其家在B處，A、B到河岸l的距離分別為AC、BD， 且A處到河岸CD中點的距離為500m。

（1）如牧童從A處將馬牽到河邊飲水后再回家，試問：在何處飲水，所走路程最短？

（2）最短的路程是多少？

解析：這個問題可簡述為已知直線CD和直線CD同側的兩點A、B，在直線CD上求一點M，使AM+MB 最小。

（1）如圖2，先作點A關于直線CD的對稱點A1 ，再連接A1B、A1B交CD于點M，則點M為所求的點。證明如下：

在CD上任取一點M1 ，連接 A1M1、AM1 、BM1 、AM。

∵點A、 A1 關于直線CD對稱，點M、 M，在CD上，

∴AM=A1M1，AM1=A1M1。

∴AM+BM=A1M+BM=A1B≤A1M1+BM1=AM1+BM1。

AM+BM最小。

（2）由（1）知，A1C=AC=BD，

∴△A1CM?劾△BDM(AAS)，∴ A1M=BM=AM,CM=DM。

故M為CD中點，且最短路程為A1B=2AM=1000m。

二、在涉及折線段長的最值問題的，一般是通過多次軸對稱變換，利用兩點之間線段最短求最值。

例2 如圖3，牧童家在A處。現在牧童要先帶馬到河邊（圖中用直線a表示）飲水，再到草地（圖中用直線b表示）吃草，然后回家。問：牧童讓馬在何處飲水、吃草，所走的總路程最短？

解析：設點B、點C分別是馬飲水、吃草處，本題即是要求線段長之和AB+BC+CA的最小值。我們通常需要把它和固定線段相比較。可通過軸對稱變換，把這些線段放在同一直線上，利用兩點之間線段最短來解決。

如圖4所示，分別作點A關于直線a的對稱點A'，點A關于直線b的對稱點A''。連接A'A''。A'A''交直線a于點B，交直線b于點C，則AB+BC+CA=A'B+BC+CA''＝A'A''。而對其他地點B'、C'，也都可以同樣轉化為A'B'+B'C'+C'A''，即為A"、A''兩點間的折線段的長。根據“兩點之間線段最短”得知，線段A'A''最短，點B、C即為所求。

三、為了在已知直線上尋找與異側兩點距離之差最小的點，可通過軸對稱變換，把異側兩點轉化為同側兩點，利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”來確定

例3 如圖5，已知直線l和位于直線l異側的兩點A、B。其中點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離。求作直線l上一點C，使AC-BC 最大。

解析：如圖6，作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'。延長AB' 交直線l于點C，則AC-BC=AC-B'C=AB'。而對l上任意點C'，AC'-BC'=AC'-B'C' 。根據“三角形任意兩邊之差小于第三邊”，知AC'-B'C'≤AB'，即AC'-BC'≤AC-BC ，點C即為所求。

參考文獻：

[1]李長明，周煥山.初等數學研究[M].北京:高等教育出版社,

1995.

[2]劉書妹.巧用軸對稱——幫你找到最短距離[J].初中全科導

學,2011(6).

（通渭縣花蘭寺學校）