讓抽象函數不再抽象

王春樣

抽象函數是指沒有給出具體表達式，規定了若干邏輯規則的函數。近幾年，全國各地高考中幾乎都設置了有關抽象函數的試題，主要考查抽象函數思維能力、分析問題能力及創新能力。抽象函數是高中數學函數部分的難點，因為抽象函數無具體解析式，所以研究起來往往困難重重。本文就抽象函數的解題技巧作了如下歸納。

一、賦值法

賦值法是處理抽象函數問題最基本的技巧。賦值規律一般可以從以下方面考慮：（1）令x=…，-3，-2，-1，0，1，2，3…等特殊值求抽象函數的函數值；（2）令x=x1，y=x1或y=，且x1

例1 定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x>0時，f（x）>1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）。證明：（1）f（0）=1；（2）對任意x∈R，恒有f（x）>0；（3）f（x）是R上的增函數。

證明：（1）令a=b=0，則f（0）=f2（0），又f≠0，∴f（0）=1。

（2）當x<0時，-x>0，∴f（0）=f（x）?f（-x），∴f（-x）=>0。

又x?莛0時，f（x）?莛1>0，所以x∈R時恒有f（x）>0。

（3）設x10，

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）?f（x1）。

∵x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

又f（x1）>0，f（x2-x1）?f（x1）>f（x1）。

∴f（x2）>f（x1），所以f（x）是R上的增函數。

二、轉化為具體函數

抽象函數的問題要充分利用函數的性質，想辦法去掉函數符號“f”，使抽象函數轉化為具體函數，然后求解。

例2 f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f（）=f（x）-f（y）。

（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（）<2。

解：（1）令x=y，得f（1）=0。

（2）由x+3>0及>0，得x>0。

由f（6）=1及f（x+3）-f（）<2，得f[x（x+3）]<2f（6），即f[x（x+3）]-f（6）

因為f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，所以<6，解得

綜上所述，不等式的解集是x｜0＜x<。

三、區間轉換

運用奇、偶函數的性質及其與單調性的關系進行區間轉換是解決抽象函數問題的一種有效手段。奇函數在對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函數在對稱的兩個區間上有相反的單調性。

例3 已知f（x）是偶函數，而且在（0，+∞）上是減函數，判斷在f（x）在（-∞，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。

解：f（x）在（-∞，0）上是增函數，證明如下：設x1

f（x）是偶函數，所以f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2） ①

由設可知-x1>-x2>0，又f（x）在（0，+∞）上是減函數，于是有

f（-x1）

把①代入②得f（x1）

由此可得在（-∞，0）上是增函數。

四、數形結合

有此抽象函數的問題用常規方法解難于奏效，但若把抽象問題圖形化，利用對稱性，數形結合，則可使問題迎刃而解。

例4 定義在R上的奇函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，又

f（-2）=0，則不等式的解集為（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解：因為定義在R上的奇函數，所以f（0）=0，且f（x）關于原點對稱。

根據題設條件作出函數在R上的大致圖像（如圖）。

由xf（x）<0，知x與f（x）異號。

由圖可知，解集為（-2，0）∪（0，2）。

故選A。

五、正難則反

當面臨的數學問題從下面入手求解難度較大時，可以考慮從反面入手解決。

例5 已知函數f（x）在R上是增函數，a，b∈R，若f（a）+f（b）?蕎f（-a)+f（-b）。求證：a+b?蕎0。

證明：欲證上述命題，正向推理題設條件不容易使用，轉而逆向思考，利用反證法。

假設a+b>0，則a>-b，b>-a。

根據單調性可知f（a）>f（-b），f（b）>f（-a），f（a）+f（b）>f（-a)+

f（-b），這與已知矛盾。

所以a+b>0不成立，即a+b?蕎0。

函數的特征是通過函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）反映出來的，抽象函數也不例外。因此，只有充分利用題設條件所表明（或隱含）的函數性質，靈活、綜合運用上述解技巧，抽象函數問題才能峰回路轉，柳暗花明。

（龍川縣麻布崗中學）