讓抽象函數(shù)不再抽象

王春樣

抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體表達(dá)式，規(guī)定了若干邏輯規(guī)則的函數(shù)。近幾年，全國(guó)各地高考中幾乎都設(shè)置了有關(guān)抽象函數(shù)的試題，主要考查抽象函數(shù)思維能力、分析問(wèn)題能力及創(chuàng)新能力。抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)無(wú)具體解析式，所以研究起來(lái)往往困難重重。本文就抽象函數(shù)的解題技巧作了如下歸納。

一、賦值法

賦值法是處理抽象函數(shù)問(wèn)題最基本的技巧。賦值規(guī)律一般可以從以下方面考慮：（1）令x=…，-3，-2，-1，0，1，2，3…等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；（2）令x=x1，y=x1或y=，且x1

例1 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，且對(duì)任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）。證明：（1）f（0）=1；（2）對(duì)任意x∈R，恒有f（x）>0；（3）f（x）是R上的增函數(shù)。

證明：（1）令a=b=0，則f（0）=f2（0），又f≠0，∴f（0）=1。

（2）當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，∴f（0）=f（x）?f（-x），∴f（-x）=>0。

又x?莛0時(shí)，f（x）?莛1>0，所以x∈R時(shí)恒有f（x）>0。

（3）設(shè)x10，

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）?f（x1）。

∵x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

又f（x1）>0，f（x2-x1）?f（x1）>f（x1）。

∴f（x2）>f（x1），所以f（x）是R上的增函數(shù)。

二、轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)

抽象函數(shù)的問(wèn)題要充分利用函數(shù)的性質(zhì)，想辦法去掉函數(shù)符號(hào)“f”，使抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)，然后求解。

例2 f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（）=f（x）-f（y）。

（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（）<2。

解：（1）令x=y，得f（1）=0。

（2）由x+3>0及>0，得x>0。

由f（6）=1及f（x+3）-f（）<2，得f[x（x+3）]<2f（6），即f[x（x+3）]-f（6）

因?yàn)閒（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，所以<6，解得

綜上所述，不等式的解集是x｜0＜x<。

三、區(qū)間轉(zhuǎn)換

運(yùn)用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)及其與單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行區(qū)間轉(zhuǎn)換是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一種有效手段。奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

例3 已知f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是減函數(shù)，判斷在f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。

解：f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，證明如下：設(shè)x1

f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2） ①

由設(shè)可知-x1>-x2>0，又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，于是有

f（-x1）

把①代入②得f（x1）

由此可得在（-∞，0）上是增函數(shù)。

四、數(shù)形結(jié)合

有此抽象函數(shù)的問(wèn)題用常規(guī)方法解難于奏效，但若把抽象問(wèn)題圖形化，利用對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合，則可使問(wèn)題迎刃而解。

例4 定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又

f（-2）=0，則不等式的解集為（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，且f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

根據(jù)題設(shè)條件作出函數(shù)在R上的大致圖像（如圖）。

由xf（x）<0，知x與f（x）異號(hào)。

由圖可知，解集為（-2，0）∪（0，2）。

故選A。

五、正難則反

當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題從下面入手求解難度較大時(shí)，可以考慮從反面入手解決。

例5 已知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，a，b∈R，若f（a）+f（b）?蕎f（-a)+f（-b）。求證：a+b?蕎0。

證明：欲證上述命題，正向推理題設(shè)條件不容易使用，轉(zhuǎn)而逆向思考，利用反證法。

假設(shè)a+b>0，則a>-b，b>-a。

根據(jù)單調(diào)性可知f（a）>f（-b），f（b）>f（-a），f（a）+f（b）>f（-a)+

f（-b），這與已知矛盾。

所以a+b>0不成立，即a+b?蕎0。

函數(shù)的特征是通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）反映出來(lái)的，抽象函數(shù)也不例外。因此，只有充分利用題設(shè)條件所表明（或隱含）的函數(shù)性質(zhì)，靈活、綜合運(yùn)用上述解技巧，抽象函數(shù)問(wèn)題才能峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明。

（龍川縣麻布崗中學(xué)）