豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的歸納及拓展

張?jiān)录t

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，常見的有這樣四種類型：①細(xì)繩拉著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)；②小球在豎直放置的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)；③小球固定輕桿上在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；④小球在豎直放置的光滑細(xì)管中做圓周運(yùn)動(dòng).

■ 1. 知識(shí)梳理

這四種類型歸納起來可以分成兩大類，涉及到的問題通常是這樣兩類：①做完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件；②在最高點(diǎn)處的臨界特征. 表1可以清楚地顯示出這兩大類問題.

■ 2. 知識(shí)辨析

（1） 恰能過最高點(diǎn)不等于速度恰為零

從表1中可以看出，③與④兩種情景下，恰能過最高點(diǎn)的速度為零；而①與②兩種情景下，恰能過最高點(diǎn)的速度為v=■.

（2） 恰能過最高點(diǎn)并不是小球與繩、桿或軌道間的相互作用力為零

（3） 不管是上述四種類型中的哪一種，若小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)處，當(dāng)其與繩子、桿或軌道間的相互作用力為零時(shí)，速度v=■.

■ 3. 知識(shí)拓展

在第③④兩種情景中，小球與軌道無相互作用的位置也可以在其它位置出現(xiàn). 下面舉例說明.

■ 情景如圖1所示，豎直平面內(nèi)有一個(gè)細(xì)圓管，它的軌道半徑為r，管的粗細(xì)可以忽略不計(jì)，一個(gè)質(zhì)量為m的小球恰能在管道內(nèi)無摩擦運(yùn)動(dòng)，若小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v0，小球經(jīng)過某一位置時(shí)恰好和軌道無作用力. 試找出與軌道無作用力的位置.

■ 解析假設(shè)小球與圓心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，對(duì)軌道的壓力恰好為0，此時(shí)的速度大小為v，此時(shí)小球只受重力作用，將重力分解為徑向和切向，如圖2所示.

由牛頓第二定律可得：

mgcosθ=m■

小球從最高點(diǎn)到該位置過程中，由動(dòng)能定理可得：mgr（1-cosθ）=■mv2-■mv20，聯(lián)立兩式可得：

v0=■.

要使上式有解，則3cosθ-2≥0，

得θ≤arccos■，0≤v0≤■.

也就是說，要使小球?qū)?nèi)外軌道均無壓力，小球在最高點(diǎn)的速度必須滿足0≤v0≤■，對(duì)軌道無相互作用力的位置出現(xiàn)在與豎直方向的夾角為θ≤arccos■的范圍內(nèi).

討論：

① 若小球在最高點(diǎn)處時(shí)速度為零，則小球與軌道無壓力的位置出現(xiàn)在θ=arccos■，關(guān)于最高點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)位置處.

② 若小球在最高點(diǎn)的速度為v0=■，則小球與軌道無壓力的位置在最高點(diǎn)處.

③ 若小球的速度介于0≤v0≤■的任一值時(shí)，都可找到與軌道無相互作用力的位置，并且在最高點(diǎn)速度越大，該位置越高.