繩端問題的綜合應用

顧曉偉

■ 1. 問題的提出

如圖1所示，一人站在高處用一根輕繩通過定滑輪牽拉一置于水平地面上的物體，地面離人高度為h=20 m，人以v1=■ m/s的速度勻速收繩子，當物體運動至離滑輪水平距離為L=20■ m時，物體的速度為多少？

■ 解析物體向左的運動是實際運動，即為物體運動的合運動，沿繩和垂直于繩的運動為兩個效果運動，即為兩個分運動.

將物體的實際運動沿繩和垂直繩方向分解，如圖2所示. 沿繩方向的速度為v1、垂直于繩方向的速度為v2，且v=v1/cosα，根據幾何知識可知cosα=■，代入可得物體的運動速度v=2 m/s

■ 2. 物理模型的構建

上題是運動的合成和分解中常見的題目，也是一種典型的題型，學生在求解此問題時很容易出現分運動和合運動的混淆. 而且此問題也可以和其他物理知識結合，編制成力學綜合題，是各類試卷中經常出現的熱門考點. 本文就此問題的求解方法作簡單分析，希望能給同學們歸納出分析思路.

本問題可以構建成如下的物理模型：物體的實際運動可以分解成沿繩方向和垂直于繩方向的兩個分運動，如圖2所示. 假設牽拉物體的細繩與水平方向的夾角不變，則在物體運動過程中細繩將變短，即物體沿繩的縮短方向做直線運動；假設牽拉物體的細繩的長度不變，則在物體運動過程中細繩與水平方向的夾角變化，即物體以定滑輪為圓心做圓周運動. 而實際上，物體既參與沿繩的直線運動，又參與垂直于繩方向上的圓周運動，即物體的運動是由上述兩個分運動合成的合運動，這兩個分運動的物理模型分別是沿半徑方向的直線運動和垂直半徑方向的圓周運動.

由以上分析可知：兩個物理模型合成一個實際運動，而此實際運動又是一個新的物理模型，即繩系模型. 由于從物體的運動形式上看，物體所做的運動相當于將一個圓展開（或者收縮），呈螺旋狀運動軌跡. 所以，此模型也可以稱為“拓展圓運動”模型.

■ 3. 繩系模型的應用

■ 3.1與幾何光學結合

■ 例1如圖3所示，一束光線垂直水面由A點從空氣射入水中，最后射到水下的平面鏡的O點上，A點到O點的距離為d，現在使平面鏡以過O點且平行于平面鏡的直線為軸逆時針勻速轉動，發現水面上出現一個向左運動的光斑P. 若平面鏡轉動的角速度為ω0，求：光斑P到A點的距離為d時，光斑P的速度.

■ 分析本題通過分析可以看出：光斑P沿水平面運動，即為光斑的實際運動，由于它的存在產生兩個效果. 其一，假設反射線不轉動，則反射線的長度不斷增加，即相當于P在沿著反射線方向做直線運動；假設反射線長度不變，則反射線逆時針轉動. 顯然，P點所做的運動為“拓展圓運動”.

■ 解析將光斑P的運動沿反射光線和垂直反射光線分解如圖3所示，則：

v=■①

而AP=OA=d，所以有：α=45°，反射線的長度為■d. 依據v=ωR解得：

v′=2ω0·■d②

聯立①②解得：v=4dω0 .

■ 3.2與機械能守恒定律結合

■ 例2如圖4所示，兩個光滑桿ab、cd相交于O點，其中ab水平固定，cd豎直固定，兩個帶有小孔質量為ml、m2的小球分別套在cd、ab桿上，且用一根不能伸縮、長度為L的輕繩連接在一起，現在將兩個小球在同一高度從相距L釋放，求兩小球與O點等距離時的速度大小.

■ 解析依據題意可知，兩個小球所做的運動都是“拓展圓運動”，且沿繩的分速度相等.

兩小球與O點等距離時它們與桿的夾角都為45°. 則對m1有v′=v1cos45°①

對m2有v′=v2cos45°②

聯立①②解得v1=v2

對系統利用機械能守恒得

■m1gL=■m1v21+■m2v22

可以解得v1=v2=■.

■ 3.3與動能定理結合

■ 例3如圖5所示的裝置中，輕繩將A、B相連，B置于光滑水平面上，拉力F使物體B以5 m/s速度勻速地由P運動到Q. P、Q處繩子與豎直方向的夾角分別為α1=37°，α2=53°. 滑輪離光滑水平面高度h=2 m，已知mA=6 kg，mB=20 kg，不計滑輪質量和摩擦，求在此過程中拉力F做的功（sin37°=0.6，g=10 m/s2）.

■ 分析物體B的運動是實際運動，因為B的運動，而使連接B物體的繩子既伸長又繞O點轉動，所以B物體在做“拓展圓運動”. 對B物體分析可知，物體B勻速運動，動能不變，拉力F做的正功等于繩子拉力對物體B做的負功，也等于繩子拉力對物體A做的功，通過對物體A分析，利用動能定理即可計算拉力做的功.

■ 解析對物體B分別在P、Q點分析，得到在P點時沿繩子方向的分速度v1為：v1=vsinα1=3 m/s，在Q點時沿繩子方向的分速度v2為：v2=vsinα2=4 m/s.

利用幾何知識可得：物體A上升的距離為Δh=■-■=■ m

對物體A分析，利用動能定理可得：

WF-mgΔh=■mv22-■mv21

解得：WF=71 J

■ 3.4與運動學知識結合

■ 例4如圖6（a）所示，物體A、B的質量均為m，且分別用輕繩連接跨過定滑輪（不計繩子與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦）. 用水平變力拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運動的過程中，下列說法正確的是（）

A. 物體A也做勻速直線運動

B. 繩子拉力始終大于物體A所受的重力

C. 物體A的速度小于物體B的速度

D. 地面對物體B的支持力逐漸增大

■ 解析設物體B的速度為v，物體B的運動可以分解為兩個分運動：沿繩方向向右下方的分運動和垂直繩指向繩子擺動方向的分運動. 物體A的速度等于沿繩方向的分速度v1，如圖6（b）. 根據矢量合成法則可得：v1=vcosθ，由于v不變，在物體B向右運動時，θ減小，故v1增大，物體A處于超重狀態，再由牛頓第二定律可知繩的拉力F=mg+ma，所以F大于mg；對物體B分析容易得出地面對B的支持力的變化情況. 綜合上面分析，最后可以知道本題的正確答案為BCD.