對一道高考題的分析

吳鎮一

■ 例題（2011年江蘇卷第9題）如圖1所示，傾角為α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側，綢帶與斜面間無摩擦. 現將質量分別為M、m（M>m）的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上. 兩物塊與綢帶間的動摩擦因數相等，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等. 在α角取不同值的情況下，下列說法正確的有（）

A. 兩物塊所受摩擦力的大小總是相等

B. 兩物塊不可能同時相對綢帶靜止

C. M不可能相對綢帶發生滑動

D. m不可能相對斜面向上滑動

該題的正確答案是：AC

以下對該問題進行分析：

■ 1. 兩物塊所受摩擦力的大小必須相等

如圖1所示，M、m對綢帶的摩擦力均沿斜面向下，由于綢帶的質量為零，根據牛頓第二定律，兩個物塊對綢帶的摩擦力必須大小相等，否則綢帶的加速度為無窮大，所以A選項正確.

■ 2. M不可能相對綢帶發生滑動

若M相對綢帶滑動，由于M>m，m不可能提供和M相同的滑動摩擦力，所以M不可能相對綢帶發生滑動，C選項正確.

■ 3. 進一步討論

如圖3所示，設兩個物塊與綢帶間相互作用的摩擦力大小均為f，設M的加速度大小為aM方向沿斜面向下；m的加速度大小為am方向沿斜面向上.

對M有：Mgsinα-f=MaM①

對m有：f-mgsinα=mam②

（1） 若m相對綢帶靜止，設此時兩物塊的加速度大小為a0，由①②得：

a0=■g

（2） 若m相對綢帶滑動，設動摩擦因數為μ，此時f=μmgcosα

由②得：am=g（μcosα-sinα）

當tanα<μ時，am>0，m相對斜面向上運動；

當tanα=μ時，am=0，m相對斜面靜止；

若tanα>μ，am<0，m相對斜面向下運動.

由①得：aM=■g

若am>0，由于aM>am（M相對綢帶靜止，m相對綢帶滑動），

即■g>g（μcosα-sinα），即tanα>■，所以當滿足：μ>tanα>■時，m相對斜面向上做加速運動.

（3） 當tanα≤■時，兩物塊均相對綢帶靜止，此時M的加速度為a0.

■ 4. 結語

本題中，考生對綢帶作為輕質模型能準確理解的話，就能選對選項A. 能搞清楚M和m同時相對綢帶滑動時，M對綢帶的摩擦力要比m對綢帶的摩擦力大，才能選對選項C. 要能準確排除選項B、D，這對考生綜合分析的能力要求則更高. 通過以上的分析不難看出，當μ、M、m一定時：

（1） tanα≤■，兩物塊均相對綢帶靜止；

（2） tanα>■，M相對綢帶靜止，m相對綢帶滑動.

① μ>tanα>■時，m相對斜面向上做加速運動；

② tanα=μ，am=0；m相對斜面靜止；

③tanα>μ，am<0；m相對斜面向下做加速運動.