幾種力做功的特點及求解方法

徐君生

功是物理學中一個非常重要的物理量，它是解決物理問題三大途徑之一——動能定理方程中的關鍵物理量，同時也是解答物理習題重要方法之一——功能原理中至關重要的物理量. 因此能正確把握物體受到的各個力做功的特點及大小的求解方法就顯得至關重要. 本文試就結合具體事例給同學們總結一下已學過的幾種力做功的特點，為機械能守恒定律這一章內容的學習打下堅實的基礎.

■ 1. 恒力做功

如果F是恒力，則求解恒力做功的基本方法是應用功的公式計算. 對功的計算式W=Fxcosα的使用，除知道F必須是恒力外，還應知道x的含義，公式中的x為力的作用點對地的位移. 對x的理解著重在三點：一是x是位移，位移的大小只與始末位置有關，所以恒力做功的特點是與移動的路徑無關，只與始末位置有關，其典型代表就是重力；二是x為對地位移，一定是以地面為參考系而非相對位移；三是x是力的作用點對地位移而不是物體對地位移，這兩個位移在絕大多數情況下沒有區別，但如果力通過動滑輪施加到物體上，則這兩個位移就完全不一樣了，請看例1.

■ 例1一恒力F通過一動滑輪拉物體，沿光滑水平面前進了距離s. 在運動過程中，F與水平方向保持θ角不變，求該過程中拉力所做的功.

■ 解析此題最容易得出的答案是WF=Fxcosθ，錯誤的原因就是沒有正確理解公式中x的含義，正確答案應該是：設在繩上打一個結，見圖2中的A點，力的作用點位移應該是圖中AB長，設為L，則WF=FLcosα，只不過圖中的L及α均不知，而求解L及α比較麻煩，所以本題采用等效替代法求解，拉力F作用在物體上的等效力為F+Fcosθ，所以等效力做功為（F+Fcosθ）x.

■ 2. 變力做功

變力做功不能直接用W=Fxcosθ公式計算，求解變力做功常用如下幾種方法.

（1） 求解變力做功的方法

方法一：平均值法. 當F是變力時，如果能求出F的平均值，則W=■xcosθ，只是中學范圍內會計算平均值的情況就是力F隨位移x線性變化，則平均值■=（F1+F2）/2.

方法二：圖象法. 若F隨位移變化，且能畫出F—x圖象，則W可用F—x圖象與x軸所包圍的面積表示，這種F—x圖象稱之為示功圖. x軸上方的面積表示力對物體做正功的多少，x軸下方的面積表示力對物體做負功的多少.

方法三：分段法（微元法）. 微元法是物理學中非常重要的方法，其基本思想就是化“變”為“恒”，把物體運動的位移分割為若干小段，每一個小段F為定值或近似當做定值，則每一小段可用公式?駐W=F?駐xcosθ，然后把每一小段做功累加求和得到總功.

方法四：等效替代法. 若某一變力做的和某一恒力做的功相等，則可以用求得的恒力的功來作為變力的功.

方法五：動能定理法. 動能定理是中學范圍內求解變力做功的最基本方法，有關動能定理的應用限于篇幅這里不再贅述.

（2） 幾種特殊變力做功的結論

結論一：以彈簧或橡皮繩為代表的彈力，其F與x成正比，應用圖象法可得到彈簧被拉升或壓縮x時彈力做的功為W=-kx2/2；

結論二： f 大小不變，方向始終與速度v方向相反，應用微元法可得W f =- f s總，式中s總是物體走過的總路程.

結論三：力的方向始終與速度v的方向垂直，應用微元法知這個力不做功（W=0）.

■ 3. 作用力與反作用力做功

（1） 一般作用力與反作用力

作用力與反作用力盡管大小相等，但由于作用在兩個不同的物體上，這兩個物體對地位移不一定相等，所以如果沒有具體指明是什么力就籠而統之稱作作用力與反作用力做功，則它們之間沒有必然關系，沒有作用力做正功反作用力一定做負功的說法. 例如放在光滑水平面上的兩個磁體從靜止開始在相互吸引力作用下的運動，作用力與反作用力均做正功；再如放在水平桌面上的物體在外加拉力作用下運動，則桌面對物體的摩擦力做負功，而物體對桌面的摩擦力不做功等.

（2） 幾種特殊的作用力反作用力做功的特點總結

結論一：一對靜摩擦力做功之和一定為零；

結論二：一對滑動摩擦力做功之和一定為負；

結論三：一對彈力做功之和一定為零.

■ 4. 合力做功

（1） 合力做功的求解方法

由合力與分力的等效替代關系知，合力與分力做功也可以等效替代，由此計算合力功的方法有兩種：一是先求物體所受到的合力，再根據公式W=Fxcosθ求合力做的功. 二是根據W=Fxcosθ，求每個分力做的功W1、W2、W3……再根據W合=W1+W2+W3+……求合力做的功. 兩種求解合力做功的方法要依據題目特點靈活運用，如物體處于平衡狀態或某一方向受力平衡時，先求合力再求功的方法簡單有效；如已知物體受力中有的不做功，有的做功，且方便求得該力的功（如重力的功），選擇第二種方式簡單方便.

（2） 重要結論及應用

同一根繩或同一輕桿對與之相連的兩物體做功之和一定為零. 由于繩或輕桿的彈力一般不知，所以求解繩或輕桿的彈力做功比較困難. 如果把這兩個物體當做一個整體，因為繩或桿的彈力做功之和為零，從而可以避開彈力做功的問題.

■ 例2如圖3在光滑水平面上質量為M物體通過細繩和定滑輪與質量為m的物體相連，整體從靜止開始運動，已知m與地面之間的距離為h，求當m著地時兩者的速度.

■ 解析繩對m做功，做功的多少與繩拉力大小有關，但繩拉力不知，盡管可以求出，畢竟轉了一個彎，所以以M和m為整體作為研究對象，則整體只有重力做功，根據重力做功的特點可知：

mgh=■（M+m）v2

從而求出m著地時的速度v=■