滑塊從斜面頂端釋放的問題分析

吳好

■ 例1如圖1所示，一質量為M、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求：

（1） 滑塊的加速度am；

（2） 斜面的加速度aM；

（3） 滑塊與斜面間相互作用的彈力N的大小.

■ 解析我們可以通過滑塊受到的合力來分析滑塊的加速度，這是分析加速度的一種最為基本的方法. 滑塊在運動過程中受到重力，斜面對滑塊的支持力，它們的合力方向如圖2中AC1的方向. 若用圖2中AD、AB1的長度表示滑塊的重力和斜面對滑塊的支持力的大小，則AC1的長度就是它們的合力大小（其中AC的長度對應于斜面靜止時，滑塊的重力沿斜面方向的分力mgsin θ）.

若能求出圖2中的α角，滑塊的加速am就可以用am=gsin θ·■求出.

設滑塊與斜面間相互作用的彈力大小為N，彈力對滑塊和斜面在水平方向的分量大小相同，設滑塊在水平方向的加速度大小為amx，所以有mamx=MaM. 設滑塊的水平位移為x1，斜面的位移為x2，斜面的底邊長為x. 根據：

x1=■amx·t2，x2=■aM·t2，x1+x2=x，利用mamx=MaM

得到：x2=■·x.

由幾何關系得：x2·sin θ·■+x2·cos θ=■.

進一步解得：tanα=■，

cosα=■

=■

根據am=gsin θ·■，將cosα的值代入得到：am=■·gsin θ，

根據aM=gsin θ tanα·■=gtanα，

將tanα的值代入得到aM=■·g

這種方法求滑塊與斜面間的彈力時，若用圖2中AB的長度表示斜面固定時斜面對物塊的彈力大小，則N對應于AB1的長度即：

N=mgcos θ-mgsin θ·tanα，

將tanα的值代入得到N=■·mg

將斜面固定與斜面滑動兩種情況下，滑塊的受力分析圖在同一張圖上對比畫出，從而尋找解決問題的辦法，這種解決問題的方法值得同學們學習，掌握用圖2給出的力的矢量分析圖，對求解一些問題會帶來很大的方便，以下列舉一例加以說明.

■ 例2如圖3所示，一質量為M、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質量為m的滑塊從斜面頂端釋放，設斜面固定時斜面對滑塊的作用力以及滑塊的加速度大小分別為N1和a1，斜面可以自由滑動時斜面對滑塊的作用力以及滑塊的加速度大小分別為N2和a2，以下說法正確的是（）

A. N1>N2，a1>a2 B. N1>N2，a1

C. N1a2 D. N1

■ 解答利用圖2的矢量分析圖，N1和N2的大小分別對應于AB的長度和AB1的長度；a1和a2的大小分別對應于AC和AC1的長度關系. 很快能得到正確答案是B.