基本不等式……在物理解題中的應用賞析

陸健

高考物理既要考查學生對物理知識的掌握程度，又要考查學生綜合分析問題的能力，這就要求學生在解決物理問題時能靈活運用知識，從不同角度或用不同的方法來解決物理問題，這離不開應用數學思想與方法. 而基本不等式a+b≥2■（a＞0，b＞0，a=b時，公式取等號）多次成為近幾年各地高考中解決物理試題的數學工具. 下面通過兩種情況分別加以說明.

■ 類型一：a+b=k（k為定值）

由a+b≥2■可得ab≤■=■，當a=b時，ab乘積取最大值■.

■ 例1曉明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動，當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉. 球飛離水平距離d后落地，如圖1所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為■d，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力.

（1） 求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2；

（2） 求繩能承受的最大拉力；

（3） 改變繩長，使球重復上述運動. 若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，求繩長以及拋出的最大水平距離.

■ 解析（1） 設繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規律，有

豎直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由機械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mgd-■d

得v2=■

（2） 設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運動的半徑為R=■d

由圓周運動向心力公式，有T-mg=■

得T=■mg

（3） 設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v３，繩承受的最大拉力不變，

有T-mg=m■得v3=■

繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t1.

有d-l=■gt21，x=v3t1，

得x=4■.

設a=l，b=d-l，則a+b=d（定值），由基本不等式可知，當a=b時，即

當l=■時，x有極大值xmax=■d

■ 類型二：ab=k（k為定值）

由a+b≥2■可得a+b≥2■，當a=b時，a，b之和取最小值2■

■ 例2如圖2所示，在投球游戲中小明坐在可沿豎直方向升降的椅子上，停在不同高度處將小球水平拋出落入固定的球框中. 已知球框距地面的高度為h0，小球的質量為m，拋出點與球框的水平距離始終為L，忽略空氣阻力.

（1） 小球從距地面高H0處水平拋出落入球框中，求此過程中小球重力勢能的減少量；

（2） 若小球從不同高度水平拋出后都落入球框中，試推導小球水平拋出的速度v與拋出點高度H之間滿足的函數關系；

（3） 為防止球入框時彈出，小明認為球落入球框時的動能越小越好，那么，他應從多高處將球水平拋出，可使小球入框時的動能最小，并求出該動能的最小值.

■ 解析（1） 取地面為重力勢能的參考平面，則小球在拋出點的重力勢能Ep1=mgH0，小球在球框處的重力勢能Ep2=mgh0，則小球重力勢能的減少量為?駐Ep=mg（H0-h0）.

（2） 設小球做平拋運動的時間為t，則L=vt，H-h0=■gt2，解得：v=L■，（H>h0）.

（3） 由機械能守恒可知：Ek=Ek0+?駐Ep，且Ek0=■，?駐Ep=mg（H-h0），得

Ek=■+mg（H-h0），設a=mg（H-h0），b=■時，則ab=■（定值），由基本不等式可知，當a=b時，即H=h0+■時，Ek有最小值，所以Ekmin=mgL.