用機械能守恒定律求解連接體問題

丁玉莉

機械能守恒定律的內容是“在只有重力、彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變. ”在用機械能守恒定律解連接體問題時，一定要注研究對象的選取，中間過程的分析以及能量轉化的過程，這樣才能正確應用機械能守恒定律解決問題.

■ 一、 機械能守恒定律應用中研究對象系統的選取

機械能守恒定律的研究對象必須是一個系統. 應用機械能守恒定律必須準確的選擇系統. 系統選擇得當，機械能守恒；系統選擇不得當，機械能不守恒. 對機械能不守恒的系統應用機械能守恒定律必然得出錯誤的結果.

■ 例1如圖1所示，長為2 L的輕桿OB，O端裝有轉軸，B端固定一個質量為m的小球B，OB中點A固定一個質量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止開始釋放轉到豎直位置的過程中，求：

（1） A、B球擺到最低點的速度大小各是多少？

（2） 輕桿對A、B球各做功多少？

（3） 輕桿對A、B球所做的總功為多少？

■ 解析有學生分別選A、B球及地球為一系統，有機械能守恒定律得到：

mgl=■mv2A，mg2l=■mv2B

由上兩式得：vA=■，vB=■

上述解法其實是不對的，錯在何處呢？是系統選擇錯誤. 事實上，小球A（或B）與地球單獨組成的系統機械能并不守恒，這是因為輕桿往下擺的過程中，輕桿分別對A、B兩球做了功（注意輕桿可以產生切向力，不象輕繩，只能產生法向力）. 對機械能不守恒的系統應用守恒定律求解，當然出錯. 那么，應該選擇什么系統呢？應選A、B球及地球所組成的系統，機械能是守恒的.

（1） 選A、B及地球為研究系統，此系統中只有動能和重力勢能發生轉化，系統機械能守恒，有：■mv′2A+■mv′2B=mgl+mg2lvB=2vA

由上面兩式可得：

v′A=■，v′B=■

（2） 由（1）不難得到：v′AvB

即A、B間的輕桿對B球做正功，對A球做負功.

輕桿對A球做功為：

WA=■mv′2A-■mv2A=-0.4mgl

同理可得，輕桿對B球做功為：WB=0.4mgl

（3） 輕桿對A、B所做總功為0.

■ 分析從（2）不難看出輕桿對小球B做了正功，對A球做了負功. 從（3）可得到，A、B兩球及輕桿這一系統，并沒有機械能與其他形式能量的轉化，故機械能守恒. A、B間輕桿的作用之一是實現了A球與B球之間機械能的傳遞.

■ 二、 機械能守恒定律應用中物理過程的選取

機械能守恒定律也是一條過程規律，在使用時必須選取具體的物理過程，確定初、末狀態. 選取物理過程必須遵循兩個基本原則，一要符合求解要求，二要盡量使求解過程簡化. 可選全過程，有時則必須將全過程分解成幾個階段，然后再分別應用機械能守恒定律求解.

■ 例2如圖2所示，質量均為m的小球A、B、C，用兩條長均為L的細線相連，置于高為h的光滑水平桌面上. L>h，A球剛跨過桌面. 若A球、B球下落著地后均不再反彈，則C球離開桌邊緣時的速度大小是多少？

■ 解析本題描述的物理過程是：A球下落帶動B、C球運動. A球著地前瞬間，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上. 因A球著地后不反彈，故A、B兩球間線松弛，B球繼續運動并下落，帶動小球C，在B球著地前瞬間，B、C兩球速率相等. 故本題的物理過程應劃分為兩個階段：從A球開始下落到A球著地瞬間；第二個階段，從A球著地后到B球著地瞬間.

在第一個階段，選三個球及地球為系統，機械能守恒，則有：mgh=■（3m）v21

第二個階段，選B、C兩球及地球為系統，機械能守恒，則有：

mgh=■（2m）v22-■（2m）v21

由上面兩式求解得：v2=■

在A球撞地后受到沖擊力，將A球速度瞬間減為0，之后就需要換取研究對象和過程，才能正確求解.

■ 三、 利用機械能守恒定律的另一表達式ΔEk+ΔEp=0解題

在運用機械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2時，必須選取零勢能參考面，而且在同一問題中必須選取同一零勢能參考面. 但在某些機械能守恒的問題中，運用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2求解不太方便，而運用ΔEK+ΔEP=0較為簡單. 運用ΔEK+ΔEP=0的一個最大優點是不必選取零勢能參考面，只要弄清楚過程中物體重力勢能的變化即可.

■ 例3如圖3所示，一固定的斜面，θ=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪，一軟弱的細線跨過定滑輪，兩邊分別與A、B連接，A的質量為4m，B的質量為m，開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升，物塊A與斜面間無摩擦，設當A沿斜面下滑s距離后，細線突然斷了，求物塊B上升的最大距離H.

■ 解析取A、B及地球為系統：

ΔEK=-ΔEP

■（4m+m）v2=4mg·s·sin30°-mgs①

對B：0-v2=2（-g）h②

H=s+h③

由①②③得：H=1.2s

物體系內“只有重力或彈簧的彈力做功”是機械能守恒的條件. 但由于做功的過程最終實現能量的轉化，所以在實際應用時可從能量轉化的角度去理解，即只有物體的動能、系統的重力勢能和彈簧的彈性勢能之間發生相互轉化，則系統機械能總量保持不變.