破解曲線運動中的過程之美

陶漢斌

■ 例題（2010重慶）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動. 當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地. 如圖所示. 已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為■d，重力加速度為g. 忽略手的運動半徑和空氣阻力.

（1） 求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2.

（2） 問繩能承受的最大拉力多大？

（3） 改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？

■ 解析（1） 設繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規律，有

豎直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由機械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mg■d

解得v2=■

（2） 設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小.

球做圓周運動的半徑為R=■d

由圓周運動向心力公式，有

T-mg=■

得T=■mg

（3） 設繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大推力不變，

有T-mg=■得v3=■

繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t1

有d-l=■gt21x=v3t1

得x=4■

當l=■時，x有極大值，xmax=■d

【破解考點一】 在第一小題的解答中，考查平拋運動中的獨立性原理以及機械能守恒律.

【變式一】 如圖所示，一小球從一定的高度h以一定的初速度v做平拋運動，求小球落地時的速度大小.

【提純】 此題的純平拋運動的基本模型，可用運動學的觀點或能量的觀點進行求解.

【解析】 方法一：小球在豎直方向做自由落體運動

v2y=2gh

小球落地時的速度

v′=■=■

方法二：小球運動過程中機械能守恒

■mv2+mgh=■mv′2

解得v′=■

【點評】 力與運動的觀點以及能量的觀點是高中物理的兩條主線.

【破解考點二】 此題的第二小題考查圓周運動的基本模型——繩的模型.

【變式二】 如圖，長1 m只能承受74 N拉力的繩子，拴著一個質量為1 kg的小球，在豎直平面內做圓周運動，轉動中小球在最低點時繩子斷了，求繩子斷時小球運動的速度多大？

【提純】 圓周運動的基本問題就是通過受力分析求出向心力.

【解析】 在最低點時對小球受力分析

T-mg=m■

解得v=8 m/s

【點評】 求解圓周運動的問題關鍵是列出供需平衡的方程F=m■.

【總結】 本題考查了曲線運動中的圓周運動與平拋運動兩個基本模型，是兩個過程相鏈接的過程型綜合題，需要我們熟練掌握平拋運動和圓周運動的解題方法.