運動錯解案例分析

劉娟

■ 案例一如圖1所示，人在岸上用繩索通過定滑輪牽引河中的小船，小船一直沿水面運動.在某一時刻繩索的速度為v0，繩AO段與水平面夾角為θ，不計摩擦和輪的質量，則此時小船的速度是多大？

對此問題，小明是這樣分析的：

首先畫出如圖2（a）所示的示意圖，由直角三角形的邊角關系得出v=v0·cos θ.

然而，人拉繩索的功率與繩索拉船的功率應該是相等的，根據拉力的作用效果可以畫出如圖2（b）的分解，人拉繩索的功率為F·v0，按照小明的結論，卻又得出繩索拉船的功率為F1·v=F·v0·cos2 θ. 問題出在哪里呢？原來，小明的錯誤就是把船速v誤認為是分速度v0.

■ 解析我們所研究的運動合成問題，都是同一物體同時參與兩個分運動的合成問題，而物體相對于給定參考系（一般為地面）的實際運動是合運動，實際運動的方向是合運動的方向. 本題中，船的實際運動是水平運動，它產生的實際效果可以O點為例說明：一是O點沿繩的收縮方向的運動，二是O點繞A點沿順時針方向的轉動，所以船的實際速度v可分解為船沿繩方向的速度v1和垂直于繩的速度v2，如圖3所示.

由圖可知：v=■

這樣繩索拉船的功率就是F1·v=F·v0，與人拉繩索的功率就一樣了，符合事實.

還可以進行如下求解，如圖4所示，設小船在很短的一段時間Δt內由O點運動到B點，OB即為小船的位移l，取AB=AC，則繩子的位移大小l1=OC，當Δt→0時，θ→0. 而△ABC為等腰三角形，所以∠ACB趨近于90°. △OCB可近似看成直角三角形，所以l1=l·cos θ.

當Δt不為零時，v0=■，v=■，

∴ v0=vcos θ，故v=■.

可見，解決這類關于“關連”運動的速度分解時，關鍵是弄清楚哪一個是合運動，所以深刻理解合運動的概念顯得十分必要. 我們一定要重視概念、理解概念、夯實基礎.

■ 練習如圖5所示，物體A和B的質量均為m，且分別與輕繩連接跨過光滑輕質定滑輪，B放在水平面上，A與懸繩豎直. 用力F拉B沿水平面向右勻速運動過程中，繩對A的拉力大小是（）

A. 大于mg

B. 總等于mg

C. 一定小于mg

D. 以上三項都不正確

■ 解析物體B向右的速度vB是合速度，根據其效果，分解為如圖6所示的兩個分速度v1和v2，其中vA=v2. 又因v2=vBcos θ，當物體B向右運動時，vB大小不變，θ變小，cos θ增大，所以v2增大，即物體A向上做加速運動. 由牛頓運動第二定律得：FT-mg=ma. 所以繩的拉力FT=mg+ma>mg，選項A正確.

■ 練習如圖7所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車m，當滑輪右側的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度v′為多少？

■ 解析物塊M的實際運動是豎直運動，它產生的實際效果：一沿繩向下運動，二是繞滑輪沿順時針方向的轉動，所以將重物M的速度分解為沿繩方向向下的速度v′和垂直于繩的速度v″，如圖8所示，由幾何關系得出小車的速度v′=vcos θ.

■ 案例二如圖9所示，用細繩一端系著的質量M=0.6 kg的物體A靜止在水平轉盤上，細繩的另一端通過轉盤中心的光滑小孔O吊著質量為m=0.3 kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2 m. 若A與轉盤間的最大靜摩擦力為F f =2 N，為使小球B保持靜止，求轉盤繞中心O旋轉的角速度ω的取值范圍. 取g=10 m/s2.

對此臨界問題，常見錯解是這樣的：

1. 簡單認為最小的角速度ω=0. 這樣B靜止，繩中拉力等于B的重力，大于A靜止時所能提供的最大靜摩擦力，出現了矛盾.

2. 只列方程mg-F f =Mω2r，這樣只求出一解：ω2=2.9 rad/s. 這里首先列方程時應該隔離分析，方程是對A列的，但是mg的力卻是B的重力；其次求解的是個范圍，不是一個定值.

3. 列出方程：mg=Mω2r，解出ω=5 rad/s，認為這個是最大值. 沒有考慮到靜摩擦力方向的變化，與相對運動趨勢相反，A的運動趨勢有兩種情況.

■ 解析要使B保持靜止，A必須相對于轉盤保持靜止——具有與轉盤相同的角速度. A需要的向心力就是繩的拉力與靜摩擦力的合力. 角速度取得最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心；角速度取得最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心.

對于B：T=mBg

對于A：T+F f =Mω21r

或T-F f =Mω22r

解得：ω1=6.5 rad/s，ω2=2.9 rad/s

所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s

處理臨界問題，一定要搞清楚臨界的條件到底是什么，有幾個，受力分析還是最最重要的環節，然后再列出方程求解，要注意選擇是用平衡方程還是牛頓運動定律方程.

■ 練習在質量為M的電動機上，裝有質量為m的偏心輪，飛輪轉動的角速度為ω，當飛輪轉軸中心在轉軸正上方時，電動機對地面的壓力正好為零. 則飛輪重心離轉軸的距離多大？在轉動過程中，電動機對地面的最大壓力多大？

■ 解析設偏心輪的重心距轉軸為r，偏心輪等效為用一長為r的細桿固定質量為m（輪的質量）的質點，繞轉軸轉動. （如圖10）

輪的重心在正上方時，電動機對地面的壓力正好為零，此時是個臨界！則此時偏心輪對電動機施加了向上的彈力F，大小等于電動機的重力，即F=Mg.

根據牛頓第三定律，此時軸對偏心輪的作用力向下，大小為F=Mg，其向心力為F+mg=mω2r.

由以上兩式得r=■.

當偏心輪的重心轉到最低點時，電動機對地面的壓力最大，對偏心輪有F′-mg=mω2r

對電動機設它所受支持力為FN，FN=F′+Mg

由以上三式可得FN=2（M+m）g

由牛頓第三定律得，電動機對地面的最大壓力為2（M+m）g.