應用萬有引力定律幾種常見的錯誤例析

周為仲

由于航天技術、人造地球衛星屬于現代科技發展的主要領域，所以萬有引力、人造地球衛星成為近年來高考的熱點. 但同學們在學習這部分內容時，由于混淆了一些概念，在解決問題時經常出現錯誤，為幫助同學們明晰思路，現將部分同學們常犯的錯誤作一歸類總結.

■ 一、 誤把在赤道上隨地球自轉的物體看成衛星

■ 例1同步衛星離地心的距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上物體隨地球自轉的向心加速度為a2，運行速率為v2，地球半徑為R，則（）

A. ■=■ B. ■=■

C. ■=■ D. ■=■

■ 解析一部分同學把在赤道上隨地球自轉的物體看成衛星，其軌道半徑為地球半徑R，把運行的速度v2當成第一宇宙速度，故誤得向心加速度之比為：

■=■=■，

運行速率之比為：

■=■ ∶ ■=■

錯選B、D答案.

事實上，在赤道上隨地球自轉的物體除了受地球對它的萬有引力外，還要受地面對它的支持力作用，因此不能把這個物體當成衛星來處理. 由于該物體在赤道上隨地球一起自轉，故該物體與同步衛星繞地球轉動的角速度是相等的，因而向心加速度之比為：

■=■=■，

運行速率之比為：

■=■=■，正確答案應為A、C.

■ 二、 不知道近地衛星與同步衛星的特點

■ 例2已知靠近地面運轉的人造地球衛星每天轉n圈，如果發射一顆同步衛星，它離地面的高度應是地球半徑的多少倍？

■ 解析有部分同學由于不知道近地衛星與同步衛星的特點而無法求解此題.

近地衛星的特點：衛星運行的軌道半徑約為地球的半徑R，軌道平面不一定在赤道平面上. 同步衛星的特點是：軌道平面一定在赤道平面上，運行的角速度與地球自轉的角速度相等，因而周期與地球自轉的周期相同T=24 h.

若能掌握上述特點，則對近地衛星有：

■=m■2R

對同步衛星有：

■=m■2r

其中r=h+R，解得■=■-1，即同步衛星離地面的高度應是地球半徑的（■-1）倍.

■ 三、 混淆了衛星軌道處的重力加速度和衛星表面處的重力加速度

■ 例3一衛星繞行星做勻速圓周運動. 已知行星表面的重力加速度為g行，行星的質量M與衛星的質量m之比■=81，行星的半徑為R行與衛星的半徑為R衛之比■=3.6，行星與衛星之間的距離r與行星的半徑R行之比■=60. 設衛星表面的重力加速度為g衛，則在衛星表面有

■=mg衛

經過計算得出：衛星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的三千六百分之一. 上述結果是否正確？若正確，列式證明；若錯誤，求出正確結果.

■ 解析在解決此題時，若不知道衛星軌道處的重力加速度和衛星表面處的重力加速度的區別，則很容易認為上述結果是正確的.

實際上，衛星軌道處的重力加速度是由行星對衛星的萬有引力產生的，而行星表面的重力加速度是由行星對它表面上物體的萬有引力產生的（忽略行星自轉），衛星表面處的重力加速度是由衛星對它表面上物體的萬有引力產生的（忽略衛星自轉），因而有：

■=m′g行

■=m′g衛，

解得g衛=0.16g行.

■ 四、 衛星的運行速度和發射速度混淆不清

■ 例4如圖所示,發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運動，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是

（）

A. 衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率

B. 衛星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度

C. 衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度

D. 衛星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度

■ 解析衛星的運行速度是指衛星在地球周圍的圓軌道上穩定運行時的線速度，它與軌道半徑的關系是：v=■，一定的軌道半徑對應著一定的運行速度. 衛星的發射速度是指衛星離開發射裝置時的初速度，衛星的軌道半徑越大，需要的發射速度就越大. 有些同學根據v=■也可以知道衛星在軌道3上的運行速率小于在軌道1上的速率，但會提出這樣的疑問：當衛星在橢圓軌道上的P點再次點火時，完全可以將衛星速率提高到大于軌道1上的運行速率，對A選項產生了懷疑. 事實上當衛星在P點速率大于軌道1上的運行速率時，衛星就不能在軌道3上穩定運行了. 故正確答案是BD.