數列求和舉例

數列求和是高中數學知識中的一個重要內容，其實質就是數列{Sn}的通項公式，它幾乎涵蓋了數列中所有的思想策略、方法和技巧，對學生的知識和思維有很高的要求。

數列求和的常用方法有：公式法、分組求和、裂項相消法、倒序求和、錯位相減法等，這些方法具有一定的通性，是必須掌握的，下面筆者舉例談幾點數列求和的方法：

例1：求和，1+2?2+3?22+……+n?2n-1

解析：本題是典型的運用錯位相減法的題型，大多數學生看到此結構，均會用錯位相減進行求和，還有其它方法嗎？從形式上看，n?2n-1=（xn）1(x=2)，由此得到另一種解法。

解：設：f(x)=x+x2+……+xn=

則：f1(x)=1+2x+2x2+3x2+……+nxn-1

∴1+2?2+3?22+……+n?2n-1

=

=[1-(n+1)2n](-1)+(2-2n+1)=-1+(n+1)2n+2-2n+1=2n(n-1)+1

點評：本例運用導數，進行數列求和，其方法具有一定的遷移性，對學生數學思維的提高有一定的幫助。

例2：求和，Sn=1-3+5-7+……+（-1）n-1(2n-1)

解析：本題解法多種多樣，由（－1）n-1不難想到，對n進行奇、偶性的討論，在教學發現大多數的學生，分別計算n為奇數及偶數的情形，n為偶數，計算不易出錯，但n為奇數時，求和時次數是易錯點。若能利用n為偶數時，n-1為奇數，計算量會降低許多。

解：n為偶數時：

Sn=1-3+5-7+……+（2n-3）-(2n-1)

=(1-3)+(5-7)+……+[（2n-3）-(2n-1)]

=(-2)+(-2)+……+（-2）=(-2)×=-n

個

n為奇數時，Sn=Sn-1+an=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=n(n≥3)

n=1時，上式成立，∴Sn=

例3：在一個圓直徑的兩端寫上自然數1，將此直徑分得的兩個半圓都對分，在每一個分點上，寫上該點相鄰兩數之和，然后把分得的四個1/4圓周各自對分，在所得分點上寫上該點相鄰兩數之和，如此繼續下去，問這樣做第幾步后，圓周所胡分點上數字之和Sn是多少？

解析：本題在實際教學中，學生做對的人數極少，大多數學生關注于分點的數字，想將其通項寫出，但又不得其法，若能注意到求Sn，即其通項這一基本方法思想，運用求通項公式中，尋找遞推式的方法可得下面的解法。

解：設第n步之后，圓周所有分點上數字之和為Sn，則第n-1步之后，圓周所有分點之數字之和為Sn-1 (n≥2)顯然n=1時S1=2，

又Sn=Sn-1+2Sn-1=3Sn-1

∴{Sn}是以2為首項，3為公比的等比數列

∴Sn=2?3n-1

例4：推導等比數列求和公式

已知數列{an}為等比數列，分比為q，其前幾項和為Sn，求Sn

解析：教材中運用的是錯位相減法，求和，在這里本文給出另一種常用方法，裂項求和。

解：∵{an}是等比數列，首項為a1，公比為q

∴an=a1qn-1=（qn-1-qn）（q≠1）

∴Sn=a1+a2+……+an

=[(1-q)+(q-q2)+……+( qn-1-qn)]

=

當q=1時，Sn=na1

∴ Sn=