一道高考模擬題解法引發(fā)的思考

魏潤(rùn)泉

在這學(xué)期高三第一輪高考復(fù)習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)全稱命題和特稱命題的審題判斷，在具體的題目中運(yùn)用時(shí)感到疑惑。下面，我就這個(gè)問題作一些簡(jiǎn)略的探討。

審題就是弄明白問題，但怎樣才算把問題弄明白了呢？主要是弄清題目已經(jīng)告訴了我們什么，又需要我們?nèi)プ鍪裁矗瑥念}目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點(diǎn)，推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息。

審題，是解題的第一步，沒有審題就沒有解題的后續(xù)，沒有審題的明晰就難有“擬訂計(jì)劃”的成功。在內(nèi)容上，審題就是弄清問題，弄清條件是什么，結(jié)論是什么；在功能上，審題首先是為思路探求奠定物質(zhì)基礎(chǔ)，最終目的是獲得題目的解。

定義（1）全稱量詞及全稱命題：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“？坌 ”表示，含有全稱量詞的命題叫做全稱命題。通常將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x）……表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱命題對(duì)M中任意一個(gè)x，有p（x）成立，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“？坌x∈M，p（x） ”，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p（x）成立”。

定義（2）存在量詞及特稱命題：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“？堝 ”表示，含有存在量詞的命題叫做特稱命題。 特稱命題“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“？堝x0∈M，p（x0） ”， 讀作“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”。

問題：（2013高考測(cè)試題）已知集合P=，2，函數(shù)的定義域?yàn)閥=log2（ax2-2x+2） 的定義域?yàn)镼。

（1）若P∩Q≠？準(zhǔn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（2）若方程log2（ax2-2x+2） =2在，2內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）若P∩Q≠？準(zhǔn)，則在 x∈，2內(nèi)，至少有一個(gè)值使x得ax2-2x+2>0成立，即在 x∈，2內(nèi)內(nèi)，至少有一個(gè)值x使得a>+成立，設(shè)u=-+=-2（-）2+，當(dāng)x∈，2時(shí)，u∈-，，得a>-4，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是a|a>-4 。

（2）方程log2（ax2-2x+2） =2在，2內(nèi)有解，則ax2-2x+2=0在，2內(nèi)有解，即在x∈，2內(nèi)有值x使得a=+成立，設(shè)u=+=2（+）2-，當(dāng) x∈，2時(shí)，u∈，12，得a∈，12，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，12。

分析：理解全稱量詞與存在量詞的意義，弄清是全稱命題還是特稱命題是解決問題的關(guān)鍵，判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題，要從命題的真正含義入手，而不僅僅是看是否有全稱量詞或存在量詞，此題最大的錯(cuò)誤點(diǎn)就是學(xué)生把題意沒有審清，而是直接用解決不等式的最值問題入手，把求最小值的問題變成了求最大值問題，導(dǎo)致最終結(jié)果錯(cuò)誤。

練習(xí)題：（2012年寧夏高考模擬題）設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）。

（1）若定義域內(nèi)存在x0，使得不等式f（x0）-m≤0成立，求實(shí)數(shù)的最小值。（2）設(shè)g（x）=f（x）-x2-x-a在區(qū)間上0，3恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：（1）存在x0使m≥f（x0）min，因?yàn)閒'（x）=2（1+x）-=（x>-1），令f'（x）>0？圯x>0，f′（x）<0？圯x<0，所以y=f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，則f（0）min=1，即m≥1，所以m的最小值是1。

（2）由g（x）=x+1-a-2ln（1+x）在0，3上有兩個(gè)零點(diǎn)，即x+1-2ln（1+x）=a有兩個(gè)零點(diǎn)，令h（x）=x+1-2ln（1+x），h′（x）=1-=，則h′（x）>0？圯x>1，h′（x）<0？圯x<1，所以y=f（x）在0，1上單調(diào)遞減，在1，3上單調(diào)遞增，則h（0）=1-2ln=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=4-2ln4，所以2-ln2

分析：首先判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題，要從命題的真正含義入手，而不僅僅是看是否有全稱量詞或存在量詞；對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，如果冠以不同的量詞，命題的屬性也不一樣，如“？坌x∈R，x2+x+1=0 ”是全稱命題，而“？堝x∈，使x2+x+1=0 ”是特稱命題；常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等；常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某個(gè)”等。

以上所舉問題體現(xiàn)了學(xué)生在審題過程中，在弄清楚條件數(shù)學(xué)含義及結(jié)論數(shù)學(xué)含義的基礎(chǔ)上，再弄清楚條件知識(shí)與結(jié)論知識(shí)間存在著哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，而這些聯(lián)系就表現(xiàn)為題目的結(jié)構(gòu)。為了更接近問題的深層結(jié)構(gòu)，審題不僅開始于解題工作的第一步，還貫穿于探求的過程與結(jié)果的反思，應(yīng)該是循環(huán)往復(fù)、不斷探化的過程，對(duì)在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行復(fù)習(xí)迎接高考的高三學(xué)生，這樣的學(xué)習(xí)更有意義。

（通渭縣第二中學(xué)）