微積分教學中的思維培養

雷貫華

摘要： 文章主要研究數學教學要注重思維能力的培養，包括創新思維、逆向思維、邏輯思維和應用思維的培養.

關鍵詞： 創新逆向邏輯應用微積分教學

高等數學教學注重培養學生的學習能力，其中思維能力至關重要.思維能力是指通過分析、綜合、概括、抽象、比較、具體化和系統化等一系列過程，對感性材料進行加工并轉化為理性認識及解決問題的能力.毋庸置疑，學生的學習活動離不開思維，思維能力是學習能力的核心.微積分是高等數學中的重要教學內容,我結合教學實踐，就微積分對學生思維能力的培養談幾點粗淺認識.

一、培養創新思維能力

培養學生的創新思維，首先要引導學生有創新意識.創新意識是人意識活動中的一種積極的、富有成果性的表現形式，是人們進行創造活動的出發點和內在動力，是創造性思維和創造力的前提.為此應積極提供給學生獨立思考的機會，讓他們對所學知識進行綜合分析篩選，大膽提出自己的想法，從而達到思維的創新變通和突破.

比如求不定積分?蘩x■dx，按照常規思維看到■大部分學生會想到首先設x+1=t■，求出dx=2tdt,從而去掉根號將原式轉化為2?蘩(t■-1)t■dt,最后根據基本公式求出不定積分.那么如果■不去呢？讓學生自己大膽思考另辟蹊徑.經過一番自我思索、相互討論、積極嘗試，他們找到了新方法：先進行恒等變形，然后利用湊微分法具體如下：

?蘩(x+1-1)■dx

=?蘩(x+1)■dx-?蘩■dx=?蘩(x+1)■d(x+1)-?蘩■d(x+1)

=■(x+1)■-■(x+1)■+C

再比如：求不定積分?蘩■dx，根據被積函數的形式先分析出第一步要恒等變形，“拋磚”以后把“引玉”的工作交給學生，及時調動他們的學習主動性、積極性和開創性，果然收效甚好，得出了兩種不同的解法：

方法一：?蘩■dx

=?蘩■dx=?蘩■dx=?蘩■dx

=?蘩(■+■)dx=?蘩csc■xdx+?蘩■dsinx

=-cotx-(sinx)■+c

方法二：?蘩■dx

=?蘩■dx=■?蘩csc■■dx=-cot■+c

兩種不同的求法，既讓學生復習鞏固了有關三角函數關系式，又及時開拓了他們的思維.

二、培養逆向思維能力

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式.敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象.數學教學中通常是從已知推到結論的思維方式，其實，對于某些問題，如果正向思維有時會有較大的運算量，有時甚至無法解決，這種情況下就要積極換一個角度看問題，從而使問題簡單化.

例1：從半徑為r的圓形鐵片上截去一扇形，并將剩下的部分做成一個漏斗，問截下扇形的圓心角?準為何值時，漏斗的容積最大.

如果正向思維要求漏斗容積最大，首先要表示出漏斗容積的表達式

V=■πr■■h

其中r■為漏斗底面半徑，h為漏斗的高，根據題義及圓錐的有關知識得

V=■π■(2π-?準)■■式①

此表達式比較復雜，必定導致求導過程的煩瑣.如果反過來思考，問題就轉化為求剪剩下的扇形圍成漏斗的容積最小的問題，其體積表達式如下

V=■π(■)■■式②

很明顯式②比式①要簡單，容易求導準確地求出?準值.

利用逆向思維不僅可以簡化計算，而且可以培養學生活學活用知識的能力.

例2：已知：?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0),求證：?蘩■■f(x)sinxdx=0.

通過分析，此題主要考查的是定積分的分部積分法.

方法一：從已知條件出發

?蘩■■f″(x)sinxdx

=f′(x)sinx|■■-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-f(x)cosx|■■-?蘩■■f(x)sinxdx

=f(π)+f(0)-?蘩■■f(x)sinxdx

根據已知條件?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0)得?蘩■■f(x)sinxdx=0.

方法二：從結果出發

?蘩■■f(x)sinxdx

=-f(x)cosx|■■+?蘩■■f′(x)cosxdx

=f(π)+f(0)+f′(x)sinx|■■-?蘩■■f″(x)sinxdx

=-?蘩■■f″(x)sinxdx=0

可見正逆運算殊途同歸，但思維方式不同.不同的解法使學生進一步理解掌握了分部積分法.

三、培養邏輯思維能力

邏輯思維能力是學好數學必須具備的能力，是指正確、合理思考的能力，即對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力.邏輯思維是一種有條件，有步驟漸進式的思維方式，最終達到解決問題的目的.

例：f(x)=lnx-?蘩■■f(x)dx,求證：?蘩■■f(x)dx=■.

學生一看題目似乎無從入手，怎么辦？先問學生引導性的問題：直接由原式能否得出結論？結論中定積分的值■可能從哪兒來？經過思考分析推理學生意識到要想得出■，只利用原式中的?蘩■■f(x)dx是不可能的，必須經過運算，即兩邊同時求定積分再出現一個新的?蘩■■f(x)dx，于是鼓勵學生大膽做下去得到式①：

?蘩■■f(x)dx=?蘩■■lnxdx-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx

=1-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx式①

但式中的?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx又怎么處理？雙重積分還沒有學，那么能否將定積分?蘩■■f(x)dx提出來呢？學生都知道如果是常數就可以提出來，那么?蘩■■f(x)dx是不是常數呢？反應快的同學馬上意識到?蘩■■f(x)dx的確是一個數，因為根據定積分的幾何意義可知，定積分表示的是一個平面圖形的面積，至此學生豁然開朗，通過一步一步推理推導，最后得出結論：

?蘩■■f(x)dx=1-?蘩■■f(x)dx?蘩■■dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx

即?蘩■■f(x)dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx最后移項得

e?蘩■■f(x)dx=1得?蘩■■f(x)dx=■

邏輯思維是對知識的綜合思考和篩選，可幫助學生提高分析問題、解決問題的能力.

四、培養應用思維能力

微積分從實際應用中產生并發展，最終也要運用于解決實際問題.老師不僅要教會學生數學理論計算，更要讓學生學會應用于實際，最終達到學以致用的目的.微積分是解決一些幾何和物理問題的重要工具.為了培養學生的實際應用思維，首先要讓他們理解一些數學概念的實際意義，比如：函數y=f(x)的求導■實際上是y隨x的變化率問題，所以物理中s=s(t)位移對時間求導■是路程隨時間的變化率問題即：v(t)=s′(t)，同理加速度a(t)=v′(t)=s″(t)，這樣就賦予了函數一階導數和二階導數實際意義.求導的逆過程是求積分，所以已知加速度或速度的表達式求位移表達式，就是以t為積分變量以a(t)或v(t)速為被積函數求積分.遇到如下題目學生也就容易理解并應用了.

例： 已知某質點做直線變速運動，其加速度為t■+1，且在初始時刻的速度v= 1，位移s=0，求質點的運動方程.

解：v=?蘩a(t)dt=?蘩(t■+1)dt=■t■+t+c又t=0時v=1，得c=1,v=■t■+t+1

則，s=?蘩v(t)dt=?蘩(■t■+t+1)dt=■t■+■t■+t+c

又t=0時s=0，得c=0，所以運動方程為s(t)=■t■+■t■+t.

總之，思維能力是一切能力的核心，它是通過對事物的感知、表象進行分析、概括、歸納而獲得事物本質的能力.所以在數學教學中，培養學生思維能力具有重要的意義.

參考文獻：

［1］韓云瑞.高等數學.北京：中國財經出版社，1998.