向量語言在圓錐曲線問題中的有效解讀及應用

王吉勇

摘要近觀全國各地高考，模擬試題，在圓錐曲線問題中借助向量表達條件，已成為一種特征，更有甚者；則需要借助向量工具（如夾角公式，向量的數量積等）來解決問題。其基本策略則是通過向量的基本運算律及其幾何意義正確解讀向量語言，利用向量語言，從而使問題得到根本解決。

關鍵詞應用；解讀；問題

一、通過向)的一個焦點是F（1，0），0為坐標原點。

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有OA2+OB2

題中的條件：|OA|2+|OB|2<|AB|2?圳即可代入坐標解答。上述例題也可以說是借助向量工具解決有關問題。

實際上，不管問題中用何中向量語言表達，最后還是要通過向量的基本運算律轉化為坐標運算，借助于韋達定理求解。因為坐標法是向量和圓錐曲線的根本契合點。

例2.（2007福建）如圖，已知點F(1,0)，直線l :x=-1，P 為平面上的動點，過P 作直線l 的垂線，垂足為點Q（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A, B兩點，交直線l于點M，還有2008年山東省試題的壓軸題，2006年四川卷壓軸題等等。

二、利用向量語言解決問題

例3.給定拋物線C：y2=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．

(Ⅰ)設l的斜率為1，角的大??；

(Ⅱ)求l在y軸上截距的變化范圍。

解析：本題第(Ⅰ)問就是借助向量的夾角公式cos第(Ⅱ)問則與例2使用的向量語言類型相同，解法類似。

解：（I）C的焦點為F(1,0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1。

將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0

設A(x1, y1), B(x2, y2)則有x1+x2=6, x1x2=1