遞歸數列在實際問題中的應用

張遠東

【摘要】遞歸數列是高考數列命題的熱點.它的方法活，它的類型很多，解題方法也不盡相同.本文綜合前人的研究歸納總結出幾種常見類型的遞歸數列，并應用到實際問題.例如傳球問題、爬樓梯問題、增長率問題等遞歸數列的實際問題在中小學試題中頻頻出現，對它們的研究也顯得更有意義.本文對這些問題進行了簡單研究.

【關鍵詞】遞歸；數列；應用

1.增長率問題

例1 某企業年初有資金1000萬元，假定經過生產，每年資金增長率50%，但每年扣除消費基金x萬元，余下的資金投入再生產，若經過5年扣除消費基金后至少有2000萬元，求x的最大值（精確到1萬元）.

解 用a璶表示經n年扣消費基金后余下的資金，那么有a璶=a璶-1（1+50%）-x，（n∈N），其中a0=1000.

所以a璶=3[]2a璶-1-x，

則a璶-2x=3[]2（a璶-1-2x），

故a璶-2x[]a璶-1-2x=3[]2（n∈N）.

即{a璶-2x}是等比數列，a璶-2x=（1000-2x）3[]2琻，（n∈N），

那么a5=（1000-2x）3[]25+2x≥2000，解得x<5593.75[]13.19≈424.1.

故x的最大值為424萬元.

注 本題利用前后兩年的余款建立遞歸關系a璶=a璶-1（1+50%）-x，避免了逐推找規律的煩瑣過程.

2.爬樓梯問題

例2 假設一個人爬樓梯時，每一步可以上1級或2級，問這個人爬n級樓梯一共有多少種爬法？

解 設爬n級樓梯一共有a璶種爬法.

當n=1時，a1=1；

當n=2時，①每一步一級，②每一步兩級，有2種走法；

當n=3時，①每一步一級，②先一級后兩級，③先兩級后一級，一共有3種走法；

當n=4時，①他第一步走一級還剩3級，轉化為n=3的情況，有3種走法；

②他第一步走兩級還剩2級，轉化為n=2的情況，有2種走法，

所以一共有5種走法；

當n=5時，①他第一步走一級還剩4級，轉化為n=4的情況，有5種走法；

②他第一步走兩級還剩3級，轉化為n=3的情況，有3種走法，所以一共有8種走法；

……

當為n級時也有兩種情況：

①他第一步走一級還剩n-1級，有a璶-1種走法；

②他第一步走兩級還剩n-2級，有a璶-2種走法，

所以一共有a璶-1+a璶-2種走法.

即a璶=a璶-1+a璶-2.

推廣 假設一個人爬樓梯時，每一步可以上1級、2級或3級，那么這個人爬n級樓梯一共有多少種爬法呢？

由上面的解題思路很容易解答出來，這也是一個遞歸數列的問題，其遞歸式為

a璶=a璶-1+a璶-2+a璶-3，其中a1=1，a2=2，a3=4.

3.放球問題

例3 有編號1，2，3，4，…，n的n個球，裝入編號為1，2，3，4，…，n的n個筐里（一筐一個），序號不能相同，共有多少種方法？

解 設n個球裝n個筐中（序號不同）有a璶種裝法，則a1=0，a2=1，a3=2，a璶包含兩類：

①1號球裝入k號筐，k號球裝入1號筐（k=2，3，…，n），還剩（n-2）個球（n-2）個筐（序號不同）共有a璶-2種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1璶-1a璶-2種放法；

②1號球裝入k號筐，但k號球不裝入1號筐（k=2，3，…，n），此時可以把k號球當作1號球，即還剩（n-1）個球（n-1）個筐（序號不同）共有a璶-1種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1璶-1a璶-1種放法.

所以a璶=C1璶-1a璶-2+C1璶-1a璶-1=（n-1）（a璶-2+a璶-1），（n≥3）.

4.傳球問題

例4 有m個人做相互傳球練習，第一次甲先傳球給其余m-1人中的一人，第二次由拿球者再傳給其余m-1人中的一人，這樣共傳了n次球，則第n次傳球仍傳回到甲的傳法種數共有多少種？

解 設傳球n次，第n次傳給甲的傳球方法有a璶種，設傳球n次，第n次不傳給甲的傳球方法有b璶種，a璶+b璶表示這n次傳球可以傳給m-1人中的任一人.易得a1=0，a璶+b璶=（m-1）琻，而a璶+1=b璶（第n+1次傳到甲只需第n次不傳到甲），所以a璶+a璶+1=（m-1）琻.

則a璶+1=-a璶+（m-1）琻，兩邊同除以（-1）琻+1可得a璶+1[]（-1）琻+1=a璶[]（-1）琻-（1-m）琻，

即a璶+1[]（-1）琻+1-a璶[]（-1）琻=-（1-m）琻，利用累差疊加的方法可得

a璶[]（-1）琻=（1-m）琻-（1-m）[]m.

則a璶=（m-1）琻[]m+（-1）琻·m-1[]m.

傳球問題、爬樓梯問題等經常困擾著學生，本文針對這幾類問題進行了探究，并與遞歸數列的相關類型建立聯系，揭示它們的本質，使得這幾類問題的解題變得清晰明了.