淺談二次函數在高中階段的應用

鮑春花

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解.進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對它們的基本概念和基本性質（圖像以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習.

一、進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念.二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型一 已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值.故f（x+1）=2（x+1）2+（x+1）+2=2x2+5x+5.

類型二 設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則.

二、二次函數的圖像、單調性與最值

在高中階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c的單調性的結論用定義進行嚴格地論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖像的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖像學習二次函數有關的一些函數單調性.

類型三 畫出下列函數的圖像，并通過圖像研究其單調性.

（1）y=x2+2|x|-1

（2）y=|x2-1|

（3）y=x2+2|x-1|-1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系.掌握把含有絕對值符號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖像.

類型四 利用函數圖像研究最值.

1.已知y=3x2-5x+6，求在下列區間上該函數的值域.

（1）R；（2）[-3，-1]；（3）[-2，2].

研究函數最值，離不開定義域.首先要使學生弄清楚題意，作出在不同區間上拋物線的圖像，圖像最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值.一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大值或最小值的情況也隨之變化，要充分借助圖像，數形結合求解.

2.設f（x）=x2-2x-1在區間[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求g（t）并畫出y=g（t）的圖像.

解 f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2.

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2.

當t>1時，g（t）=f（t）=t2-2t-1.

當t<0時，g（t）=f（t+1）=t2-2.

g（t）=t2-2，（t<0），

-2，（0≤t≤1），

t2-2t-1，（t>1）.

本題中區間為動區間，而對稱軸為定軸，故需根據對稱軸與區間位置關系加以分類討論.若區間確定，而對稱軸在變動，解法的基本思想類似，如：f（x）=x2+ax+3在區間[-1，1]上的最小值g（a）.

三、二次函數的知識可以準確反映學生的數學思維

類型五 已知二次函數f（x）=x2-2mx+1，其圖像與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，求m的取值范圍.

解題思路 根據題中所提供的信息可以聯想到：①拋物線與x軸交點的橫坐標為對應一元二次方程的根；②若方程f（x）=0的兩根為x1，x2，即可得到x1>1，x2<1.因此解題思路明顯有兩條：①利用一元二次方程根與系數關系.②圖像法.

方法一 代數法

由題可設方程x2-2mx+1=0的兩根x1>1，x2<1，

∴x1-1>0，x2-1<0.

由根與系數關系知：x1+x2=2m，x1x2=1.

∴Δ=4m2-4>0，

（x1-1）（x2-1）=2-2m<0.

方法二 幾何法

根據二次函數的性質，y=f（x）是開口向上的拋物線，畫出簡圖，

由圖可知拋物線與x軸的兩個交點在（1，0）兩側的充要條件是f（1）<0，從而解得m>1.該方法有效地利用了二次函數的圖像，結合圖像的位置和函數值的符號解決問題，數形結合無處不在，大大提高了解題效率.

一元二次函數，它有豐富的內涵和外延.作為最基本的初等函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力.

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入.