目標規(guī)劃在制定企業(yè)生產(chǎn)計劃中的應(yīng)用

龍春濤

摘要：為了探討如何在既定的資源中實現(xiàn)企業(yè)效益的最大化，利用目標規(guī)劃研究成都市某企業(yè)生產(chǎn)計劃的制定問題，建立了相應(yīng)的目標規(guī)劃模型，并應(yīng)用管理運籌學(xué)軟件求解該模型。此模型為中國一些中小型企業(yè)做出科學(xué)的生產(chǎn)計劃提供了一定的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：目標規(guī)劃；生產(chǎn)計劃；企業(yè)

中圖分類號：F27文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2012）18-0035-03

引言

目標規(guī)劃是應(yīng)用于工業(yè)和公共決策問題中的第一個多目標方法。目標規(guī)劃問題本質(zhì)上是尋找達到多于一個目標的線性規(guī)劃問題。目標規(guī)劃的發(fā)展以應(yīng)用為主，其在國民經(jīng)濟管理各行業(yè)、各部門的應(yīng)用日益廣泛，如在決策支持系統(tǒng)中、工程優(yōu)化設(shè)計中、統(tǒng)計學(xué)中及經(jīng)濟學(xué)中等。在當代中國，企業(yè)之間的競爭從重品質(zhì)轉(zhuǎn)向了重效率、重成本、重管理等。隨著社會的發(fā)展和市場競爭的加劇，迫使企業(yè)不得不注重在現(xiàn)有生產(chǎn)能力的基礎(chǔ)上，充分挖掘潛力，最大限度地提高企業(yè)的生產(chǎn)績效與管理績效，不斷增強自己抗御各種風(fēng)險的能力，從而保證企業(yè)成為時代的強勢主體，而如何制訂生產(chǎn)計劃便是企業(yè)管理者面臨的首要問題。管理者在擬訂生產(chǎn)計劃時，不僅要考慮總產(chǎn)值，而且要考慮利潤、產(chǎn)品質(zhì)量和設(shè)備利用率等，如何統(tǒng)籌兼顧多種目標，選擇合理方案，是十分復(fù)雜的問題。目標規(guī)劃比較符合現(xiàn)代管理決策的實際，其方法靈活，有能力處理互相沖突的經(jīng)濟問題。較線性規(guī)劃來說，目標規(guī)劃在解決這類問題時，體現(xiàn)了其優(yōu)越性，已成為解決現(xiàn)代管理問題的一種行之有效的方法。

一、目標規(guī)劃的原理

1.決策變量。決策變量，又稱控制變量，用x1，x2，…，x3表示，即模型最終要求的解。

2.偏差變量。根據(jù)最終計算出的目標值與目標預(yù)定值之差稱為偏差。引入偏差變量可以確保原規(guī)劃模型的目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為目標約束。偏差變量分為兩種，負偏差變量和正偏差變量。第k個目標的負偏差變量記為dk-，它代表目標計算值未達到目標預(yù)定值的數(shù)值，目標規(guī)劃模型中規(guī)定dk-≥0。第k個目標的正偏差變量記為dk+，它代表目標計算值超過目標預(yù)定值的數(shù)值，目標規(guī)劃模型中規(guī)定dk+≥0。偏差變量的取值有3種可能：第k個目標的計算值超過原先設(shè)定的預(yù)定值，即超額完成預(yù)定目標，此時，dk-=0，dk+＞0；第K個目標的計算值未達到原先設(shè)定的預(yù)定值，即未完成預(yù)定目標，此時，dk-＞0，dk+＝0；第K個目標的計算值正好達到目標的預(yù)定值，此時dk-=0，dk+=0。

3.系統(tǒng)約束和目標約束。系統(tǒng)約束是指對某些資源（需求）進行限制的原始約束條件，也稱為剛性約束。目標約束是目標規(guī)劃特有的一種約束，指的是原目標函數(shù)在確定目標預(yù)定值，并增加偏差變量后轉(zhuǎn)換成的新的約束條件。由于這類約束包含允許不達標的負偏差變量d-，也包含允許超過目標預(yù)定值的正偏差變量d+，所以目標約束也稱為柔性約束。

4.目標函數(shù)。由目標規(guī)劃問題原始各個目標構(gòu)成的函數(shù)，目標函數(shù)實質(zhì)上是一個關(guān)于目標優(yōu)先等級和偏差變量的線性組合。對于滿足系統(tǒng)約束的目標約束的滿意解，從決策者的角度看，判斷其優(yōu)劣的依據(jù)是目標的計算值與其預(yù)定值的偏差的大小。目標規(guī)劃模型的目標函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為：min Z=

f（d+，d-）。目標規(guī)劃問題各原始目標因要求不同，引入偏差變量后的目標函數(shù)有如下三種基本形式：（1）決策者希望目標的計算值等于目標的預(yù)定值，或?qū)τ诮?jīng)求解所取得的目標計算值心中無數(shù)，這時，可以這樣構(gòu)造目標函數(shù)：使計算結(jié)果中相應(yīng)目標的兩個偏差變量之和為最小（最理想的結(jié)果是都等于0），具體的形式為：min Z=d++d-。 （2）決策者希望目標的計算值不超過目標的預(yù)定值，即允許達不到預(yù)定目標（例如，對于某種資源的使用，允許有剩余），這時，可以這樣構(gòu)造目標函數(shù)：使計算結(jié)果中相應(yīng)目標的正偏差變量為最小。具體的形式為：min Z=d+，需要說明的是，對于這類目標，決策者并不關(guān)心負偏差變量取值的大小。（3）決策者希望目標的計算值超過目標的預(yù)定值，即允許超過預(yù)定目標（例如，對于產(chǎn)品的市場需求的提供量，允許有超額），這時，可以這樣構(gòu)造目標函數(shù)：使計算結(jié)果中相應(yīng)目標的負偏差變量為最小。具體形式為：min Z=d-，需要說明的是，對于這類目標，決策者并不關(guān)心正偏差變量的取值的大小。

5.優(yōu)先等級和權(quán)重系數(shù)。人們在解決目標規(guī)劃問題而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時，為了滿足多個決策的需要，就要設(shè)立多個目標。這些目標的重要程度不可以完全相同，決策者根據(jù)實際情況進行分析，然后按照各個目標的重要程度給不同的目標賦予不同的優(yōu)先等級，這種優(yōu)先等級為計算求解提供不同的判別標準。在同一個優(yōu)先等級下，如果存在多個目標，則可以通過給出不同的權(quán)重系數(shù)來確定其重要程度。（1）優(yōu)先等級。設(shè)目標規(guī)劃問題有k個目標，分為s個優(yōu)先等級，分別用優(yōu)先因子p1，p2，…，ps 來表示，規(guī)定pt＞pt+1，優(yōu)先因子的序號越小，說明等級越高。目標的優(yōu)先等級是個定性的概念，不同的優(yōu)先等級無法從數(shù)量上加以衡量和比較。優(yōu)先因子可以理解成用來區(qū)別各個目標的重要程度的一種符號，表明無論w值有多大，都不能使wpt+1＞wpt，即低位目標無論如何都不如高位目標重要。（2）權(quán)重系數(shù)。權(quán)重系數(shù)是指各目標中偏差變量的系數(shù)，是一個可以用數(shù)量來衡量的指標。對屬于同一優(yōu)先等級的不同目標可按其重要程度（這由決策者根據(jù)偏好或政策因素等特征來決定）分別給予不同權(quán)重系數(shù)，以此來反映各目標重要程度的差異。應(yīng)該注意的是，處于同一優(yōu)先等級中的不同目標，其計量單位必須相同，否則，目標函數(shù)值就無法比較和衡量。

其模型如下：求minZ=Σpt（ftk-dk-+ftk+dk+） （t=1，2，…，s），（k=1，2，…，r）

Σckjxj+dk--dk+=ek，（j=1，2，…，n），（k=1，2，…，r）

Σaijxj≤bi （i=1，2，…，m），（j=1，2，…，n）

xj≥0（j=1，2，…，n） dk-，dk+≥0（k=1，2，…，r）

在目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型中，s為目標函數(shù)Z中優(yōu)先等級的個數(shù)，r為目標約束的個數(shù)，s≤r。通常情況下，s=r；當存在幾個不同目標屬于同一個優(yōu)先等級時s＜r。

目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型式中的元素說明：xj：決策變量；aij：系統(tǒng)約束的系數(shù)矩陣；ckj：目標約束的系數(shù)矩陣（或當前目標約束中未含偏差變量的系數(shù)矩陣部分）；bi：系統(tǒng)約束的右端常數(shù)；ek：目標約束的預(yù)定值（或目標約束的右端常數(shù)）；pt：目標的優(yōu)先等級；dk-：各目標約束對應(yīng)的負偏差變量；dk+：各目標約束對應(yīng)的正偏差變量；ftk-：目標優(yōu)先等級pt中對應(yīng)于負偏差變量dk-的權(quán)重系數(shù)；ftk+：目標優(yōu)先等級pt中對應(yīng)于正偏差變量dk+的權(quán)重系數(shù)。

ftk-，ftk+所代表的權(quán)重系數(shù)通常為1（缺省值為1），只有當多個原目標屬于同一個優(yōu)先等級時（即多個原目標合為一個目標時）才需要根據(jù)具體情況專門指定。

6.目標規(guī)劃模型的解。一般而言，求解目標規(guī)劃模型所得到的最優(yōu)解，使其各個目標都實現(xiàn)最優(yōu)是不可能的，因此，這個所謂的最優(yōu)解只是優(yōu)解，實質(zhì)上應(yīng)稱為原目標規(guī)劃問題的滿意解。滿意解又稱為可接受的解，對應(yīng)地還存在不可接受的解。（1）可接受的解。如果所求得的最終解，主要目標已經(jīng)實現(xiàn)（Z1*=0），而其他某個（或某些）等級的目標函數(shù)值ZK*=a≠0（2≤k≤s），則說明pk等級的目標沒有完全實現(xiàn)，則這個最終解就稱之為可接受的解。可接受的解其實就是充分考慮優(yōu)先級較高的目標并權(quán)衡其他一般目標的滿意解。（2）不可接受的解。如果所求得的最終解，主要目標（優(yōu)先等級為p1的目標）沒有實現(xiàn)（Z1*≠0），則這個最終解就是不可接受的解。此時，一般做法是適當放松有關(guān)約束或降低p1目標的預(yù)定值，然后再進行模型的調(diào)適和計算，直到最高等級的p1目標完全得以實現(xiàn)。

二、目標規(guī)劃在制定企業(yè)生產(chǎn)計劃中的應(yīng)用

1.問題的提出。四川省成都市A預(yù)制廠是一個生產(chǎn)銷售各種預(yù)制板和小件的小型工廠。長期以來，該廠只憑簡單的經(jīng)驗制訂生產(chǎn)計劃，雖然能獲得一定的利潤，但沒有經(jīng)過系統(tǒng)的、科學(xué)的規(guī)劃，沒有達到效益的最大化。該廠急需一種合適的方法為其制定一個更佳的生產(chǎn)計劃。

將該廠生產(chǎn)的預(yù)制板歸類為小型、中型和大型，小件歸類為小型、中型和大型。各類預(yù)制板的成本和利潤（如表1所示）。各類小件的成本和利潤（如表2所示）。

表1

表2

已知該廠每月最多生產(chǎn)預(yù)制板900件，小件1 500件，且每月支出水電費及設(shè)備維護費等3 000元。月初規(guī)劃時考慮如下幾個目標：第一優(yōu)先級：月利潤不得低于14 000元；第二優(yōu)先級：生產(chǎn)的小件數(shù)量宜為預(yù)制板數(shù)量的1/3；第三優(yōu)先級：企業(yè)用于生產(chǎn)兩類貨物的成本不得高于65 000元；第四優(yōu)先級：生產(chǎn)的大型預(yù)制板不得超過300張。

試確定該廠的月生產(chǎn)計劃，即確定其每月生產(chǎn)的各類預(yù)制板和小件的數(shù)量。

2.建立數(shù)學(xué)模型。設(shè)該廠生產(chǎn)各型號預(yù)制板的數(shù)量為X（i=1，2，3），生產(chǎn)各型號小件的數(shù)量為X（i=4，5，6）。

生產(chǎn)能力限制：

x1+x2+x3≤900（1）

x4+x5+x6≤1 500（2）

利潤約束：10x1+15x2+20x3+7x4+9x5+53x6+d1--d1+-

3 000=14 000 （3）

數(shù)量約束：x1+x2+x3-3x4-3x5-3x6+d2--d2+=0 （4）

x3+d4--d4+=300 （5）

成本限制：53x1+68x2+83x3+15x4+31x5+150x6+d3--d3+=

65 000 （6）

目標函數(shù)為：minZ=p1d1-+p2（d2-+d2+）+p3d3++p4d4+

（7）

由上可得目標規(guī)劃模型：

minZ=p1d1-+p2（d2-+d2+）+p3d3++p4d4+

x1+x2+x3≤900

x4+x5+x6≤1 500

10x1+15x2+20x3+7x4+9x5+53x6+d1--d1+-3 000=14 000

x1+x2+x3-3x4-3x5-3x6+d2--d2+=0

53x1+68x2+83x3+15x4+31x5+150x6+d3--d3+=6 000

x3+d4--d4+=300

3.求解模型。目標規(guī)劃的求解有多種方法，例如：單純形法、圖解法、Excel電子表格法等。本文選用管理運籌學(xué)軟件求解。只要在目標規(guī)劃中輸入目標規(guī)劃的子模型中輸入目標規(guī)劃的數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果。需要注意輸入欄中決策變量的個數(shù)是不包括偏差變量的決策變量的個數(shù)，絕對約束個數(shù)是指不含偏差變量的約束條件的個數(shù)。

模型經(jīng)求解后，各變量取值（如表3所示）。

可見，目標1，目標2，目標3，目標4都達到了。

由上可知，該廠的月生產(chǎn)計劃（如表4所示）。

表4

若該廠按此方案生產(chǎn)，所用的生產(chǎn)成本為60 432元，可獲得月利潤16 984元，收益率為28.1%。經(jīng)過規(guī)劃后制定的這個方案符合該廠的實際情況和市場需求，并在一定程度上提高了工廠的經(jīng)濟效益。

結(jié)論

用目標規(guī)劃方法制訂生產(chǎn)計劃，可使工廠獲得較多的經(jīng)濟效益。即使在其他條件變化時，管理者也能夠合理地安排生產(chǎn)。實踐使人們意識到，用科學(xué)方法比簡單經(jīng)驗好。私有企業(yè)與國有企業(yè)不同，在生產(chǎn)過程中受到的市場、原材料等方面的限制較多，競爭性較強。在金融危機的背景下，為了求得企業(yè)的發(fā)展，用科學(xué)的方法去經(jīng)營顯得更為重要。目標規(guī)劃方法是科學(xué)的規(guī)劃方法，特別是對那些自產(chǎn)自銷、自負盈虧的小型工廠，具有特殊的適用價值。

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The Application of Goal Programming in Making Enterprise Production Plan

LONG Chun-tao

（Xinjiang University of Finance and Economics of Applied Mathematics Institute，Urumqi 830012，China）

Abstract： In order to study how to use the established resources to achieve enterprise the biggest benefit，use target program to study the production planning problem of some enterprise in Chengdu，built the goal programming model，and apply the operation research for management software to solve the model. The model provide a certain basis for China' s small and medium enterprises to make scientific production of plans.

Key words: goal programming;prodution plan;enterprise

[責任編輯 劉嬌嬌]