一個不等式的推廣與延伸

魏春強 侯娟

摘要： 文章以均值不等式為背景，通過對一個不等式的結論進行類比，猜想得出此不等式的延伸與推廣形式，并進行嚴格的證明.

關鍵詞： 平均值不等式算術平均數幾何平均數

命題1：2（-）≤3（-）（a，b，c＞0）

證明：作差3（-）-2（-）

=c+2-3

令x=，y=

則c+2-3

=x+2y-3xy

=（x-y）（x+2y）≥0

當且僅當x=y時，等號成立.

如果把算術平均數和幾何平均數的差改為商把積改為冪，就可以猜想出以下結果.

命題2：≤（a，b，c＞0）

證明：作商=·

令x=，y=

則原式=·=

因為2x+y=x+x+y≥3即（2x+y）≥27xy

所以=≥1

即≤

當且僅當=時，等號成立.

命題1可以推廣.

命題3：

（n-1）-≤n-（a，a，…，a＞0）

證明：

作差n（-）-（n-1）-

=a+（n-1）·-n·

令=x，=y

則a+（n-1）·-n·

=x+（n-1）y-（n-1）xy-xy

=（x-y）［x+xy+…+xy-（n-1）y］

=（x-y）［x+2xy+3xy+…+（n-2）xy+（n-1）y］

≥0

當且僅當x=y時，等號成立.

所以，

（n-1）-

≤n-

當且僅當=時，等號成立.

同理，命題2的結論也可以推廣為：

命題4：≤

當且僅當=時，等號成立.

命題4的證明和命題3的證明方法相同.

參考文獻：

［1］陳傳理，張同余.競賽數學教程.高等教育出版社.