細(xì)說有“對稱美”的函數(shù)

胡建忠

摘要： 函數(shù)是初中和高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，競賽試題往往也聚焦于此.本文從函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性兩方面談了對函數(shù)的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)二次函數(shù) 對稱性

函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于函數(shù)之中，還存在于數(shù)學(xué)問題之中，利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.現(xiàn)擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個(gè)方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì).

一、 函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱的充要條件：f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn).

∵點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對稱點(diǎn)P（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，

∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，

故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.

（充分性）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y=f（x）.

∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故點(diǎn)P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱，充分性得證.

推論：函數(shù)f=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3.①y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

②y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

③y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對稱，

∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c………………（1）

又∵y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=b成軸對稱，

∴f（2b-x）=f（x）代入（1）得：

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］……………………（2）

用2（a-b）+x代x得：

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（2）得：

f（x）=f［4（a-b）+x］，y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

二、不同函數(shù)之間的對稱性探究

定理4.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對稱.

定理5. ①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱.

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱.

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③.

證：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y=f（x）.記點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點(diǎn)為P（x，y），則x=a+yy=x-a，

∴代入y=f（x）之中，得x-a=f（a+y）

∴點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上.

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點(diǎn)也在函數(shù)y=f（x）的圖像上.故定理5中的③成立.

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱，即原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱.

三、函數(shù)對稱性應(yīng)用典例賞析

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f（10+x）為偶函數(shù)

∴f（10+x）=f（10-x）

∴f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，

∴x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個(gè)偶函數(shù).

故選（A）.

例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），y=g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g（5）=2009，那么f（4）=.

解：∵f（x-1）和g（x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

∴y=g（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g（x-2）的反函數(shù)是y=2+g（x）， ∴f（x-1）=2+g（x），

∴有f（5-1）=2+g（5）=2011，

故f（4）=2011.

例3：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）=f（1-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=-，則f（8.6）=.

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

∴x=0是y=f（x）對稱軸；

又∵f（1+x）=f（1-x）∴x=1也是y=f（x）對稱軸.故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，

∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （－0.6 ） = 0.3.

以上幾例在求解過程中均合理地利用了函數(shù)的對稱性及周期性，使得看似復(fù)雜的問題能迎刃而解，從而大大簡化了計(jì)算.