細說有“對稱美”的函數

胡建忠

摘要： 函數是初中和高中數學的重要內容之一，是數學教學的核心內容，也是整個高中數學的基礎知識.函數的性質和應用是高考的重點與熱點，競賽試題往往也聚焦于此.本文從函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性兩方面談了對函數的認識.

關鍵詞： 高中數學二次函數 對稱性

函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于函數之中，還存在于數學問題之中，利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.現擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討函數與對稱有關的性質.

一、 函數自身的對稱性探究

定理1.函數y=f（x）的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件：f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：（必要性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點.

∵點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，

∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，

故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證.

（充分性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，則y=f（x）.

∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故點P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的圖像上，而點P與點P'關于點A（a，b）對稱，充分性得證.

推論：函數f=f（x）的圖像關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2.函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

定理3.①y=f（x）圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

②y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

③y=f（x）圖像同時關于點A（a，c）中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數y=f（x）圖像關于點A（a，c）成中心對稱，

∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c………………（1）

又∵y=f（x）圖像同時關于直線x=b成軸對稱，

∴f（2b-x）=f（x）代入（1）得：

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］……………………（2）

用2（a-b）+x代x得：

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（2）得：

f（x）=f［4（a-b）+x］，y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

二、不同函數之間的對稱性探究

定理4.函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱.

定理5. ①函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱.

②函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱.

③函數y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③.

證：設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，則y=f（x）.記點P（x，y）關于直線x-y=a的軸對稱點為P（x，y），則x=a+yy=x-a，

∴代入y=f（x）之中，得x-a=f（a+y）

∴點P（x，y）在函數x-a=f（y+a）的圖像上.

同理可證：函數x-a=f（y+a）的圖像上任一點關于直線x-y=a的軸對稱點也在函數y=f（x）的圖像上.故定理5中的③成立.

推論：函數y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關于直線x=y成軸對稱，即原函數與反函數的圖像關于直線x=y成軸對稱.

三、函數對稱性應用典例賞析

例1：定義在R上的非常數函數滿足：f（10+x）為偶函數，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（）

（A）是偶函數，也是周期函數

（B）是偶函數，但不是周期函數

（C）是奇函數，也是周期函數

（D）是奇函數，但不是周期函數

解：∵f（10+x）為偶函數

∴f（10+x）=f（10-x）

∴f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數，

∴x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數.

故選（A）.

例2：設定義域為R的函數y=f（x），y=g（x）都有反函數，并且f（x-1）和g（x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，若g（5）=2009，那么f（4）=.

解：∵f（x-1）和g（x-2）函數的圖像關于直線y=x對稱，

∴y=g（x-2）反函數是y=f（x-1），而y=g（x-2）的反函數是y=2+g（x）， ∴f（x-1）=2+g（x），

∴有f（5-1）=2+g（5）=2011，

故f（4）=2011.

例3：設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（1+x）=f（1-x），當-1≤x≤0時，f（x）=-，則f（8.6）=.

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，

∴x=0是y=f（x）對稱軸；

又∵f（1+x）=f（1-x）∴x=1也是y=f（x）對稱軸.故y=f（x）是以2為周期的周期函數，

∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （－0.6 ） = 0.3.

以上幾例在求解過程中均合理地利用了函數的對稱性及周期性，使得看似復雜的問題能迎刃而解，從而大大簡化了計算.