應用數學知識,解決實際問題

陳佛林

《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎之上.教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，獲得廣泛的數學活動經驗.因此，在數學教學實踐過程中，教師要有意識地運用數學知識解決實際問題，從而優(yōu)化學生的思維品質，培養(yǎng)其數學素質.下面舉例說明.

一、通過實際問題，培養(yǎng)學生懂得數學價值

例1（2010年江西卷理11）：一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚，國王用方法一、二能發(fā)現至少一枚劣幣的概率分別記為p，p則（）

A.p=pB.p＜p

C.p＞pD.以上三種情況都有可能

解析：p=1-0.99，p=1-0.98

∵0.99=0.9801

∴p=1-0.99=1-（0.99）=1-0.9801

∴p＜p，選B.

例2：某班設計了一個八邊形的班徽，它的腰長為1，頂角為α的四個等腰三角形及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）

A.2sinα-2cosα+2

B.sinα-cosα+3

C.3sinα-cosα+1

D.2sinα-cosα+1

解析：每個等腰三角形的面積為S=×1×1×sinα=sinα

設其邊長為a，則a=1+1-2×1×1×cosα=2-2cosα.

所以底邊也構成的正方形面積為S=a=2-2cosα.

∴該八邊形的面積S=4S+S=2sinα+2-2cosα，選A.

二、通過實際問題，讓學生對自己的數學能力充滿信心

例3（2010廣東卷理8）：為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同.記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒，如果實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（）

A.1025秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

解析：所有不同的閃爍共計A=120種，每次閃爍用時5秒，所以閃爍所用的時間為120×5秒，閃爍的時間間隔次數為119次，每次間隔5秒，故間隔時間為119×5秒，共需120×5+119×5=1195秒.選C.

例4：將6名志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同的場館服務，不同的分配方案有 種.

解析：先將6位志愿者分成四組，有種分法，再將這四組分配至不同場館有A種分法，共計A=1080種分法.

三、通過實際問題，培養(yǎng)學生學會數學交流

例5（2010遼寧文13）：三張卡片分別寫上字母E、E、B，將這三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為 .

解析：考慮B的排列位置，知道B只可能排3個位置，BEE恰是其中的一種，因此P=.

例6（2010上海卷文12）：從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機地抽取一張，事件A為“抽得紅桃K”事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（A∪B）=.

解析：52張撲克牌中紅桃K只有一張，黑桃有13張，所以P（A）=，P（B）==，又因A，B為互斥事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=.

四、通過實際問題，培養(yǎng)學生解決數學問題的能力

例7（上海卷理8）：某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是，，，則此人能（）

A.不能做出這樣的三角形

B.做出一個銳角三角形

C.做出一個直角三角形

D.做出一個鈍角三角形

解析：設三角形的面積為S，三邊長度分別為a、b、c，則由題意知：×a×=S，×b×=S，×c×=S.

∴a=26S，b=22S，c=10S，∵b+c=32S＞26S=a，

∴存在這樣的三角形，且a邊最長.

b+c=（22S）+（10S）=584S＜（26S）=676S

∴該三角形為鈍角三角形，選D.

例8（湖北卷理17）：為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=（0≤x≤10），若不建個熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗用之和.

（1）求k的值及f（x）的表達式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值.

解析：（1）設隔熱層的厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C（x）=，再由C（0）=8得k=40，因此C（x）=，而建造費用為C（x）=6x.

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x）=20C（x）+C（x）=20×+6x=+6x=+6x（0≤x≤10）.

（2）解法1：f′（x）=6-，令f′（x）=0，

=6，解得x=5，x=-（舍去）.當0＜x＜5時，f′（x）＜0；

當5＜x＜10時，f′（x）＞0.

故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為f（5）=70萬元.

解法2：f（x）=+6x（0≤x≤10）

=+2（3x+5）-10≥2-10=70

當且僅當=2（3x+5）時，x=5或x=-（舍去）.

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.

總之，數學知識本身是抽象的，但它來源于生活，我們應讓學生在生活實踐中感知，并培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力.