應用數學知識,解決實際問題

陳佛林

《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上.教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，獲得廣泛的數學活動經驗.因此，在數學教學實踐過程中，教師要有意識地運用數學知識解決實際問題，從而優化學生的思維品質，培養其數學素質.下面舉例說明.

一、通過實際問題，培養學生懂得數學價值

例1（2010年江西卷理11）：一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚，國王用方法一、二能發現至少一枚劣幣的概率分別記為p，p則（）

A.p=pB.p＜p

C.p＞pD.以上三種情況都有可能

解析：p=1-0.99，p=1-0.98

∵0.99=0.9801

∴p=1-0.99=1-（0.99）=1-0.9801

∴p＜p，選B.

例2：某班設計了一個八邊形的班徽，它的腰長為1，頂角為α的四個等腰三角形及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）

A.2sinα-2cosα+2

B.sinα-cosα+3

C.3sinα-cosα+1

D.2sinα-cosα+1

解析：每個等腰三角形的面積為S=×1×1×sinα=sinα

設其邊長為a，則a=1+1-2×1×1×cosα=2-2cosα.

所以底邊也構成的正方形面積為S=a=2-2cosα.

∴該八邊形的面積S=4S+S=2sinα+2-2cosα，選A.

二、通過實際問題，讓學生對自己的數學能力充滿信心

例3（2010廣東卷理8）：為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同.記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒，如果實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是（）

A.1025秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

解析：所有不同的閃爍共計A=120種，每次閃爍用時5秒，所以閃爍所用的時間為120×5秒，閃爍的時間間隔次數為119次，每次間隔5秒，故間隔時間為119×5秒，共需120×5+119×5=1195秒.選C.

例4：將6名志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同的場館服務，不同的分配方案有 種.

解析：先將6位志愿者分成四組，有種分法，再將這四組分配至不同場館有A種分法，共計A=1080種分法.

三、通過實際問題，培養學生學會數學交流

例5（2010遼寧文13）：三張卡片分別寫上字母E、E、B，將這三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為 .

解析：考慮B的排列位置，知道B只可能排3個位置，BEE恰是其中的一種，因此P=.

例6（2010上海卷文12）：從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機地抽取一張，事件A為“抽得紅桃K”事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（A∪B）=.

解析：52張撲克牌中紅桃K只有一張，黑桃有13張，所以P（A）=，P（B）==，又因A，B為互斥事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=.

四、通過實際問題，培養學生解決數學問題的能力

例7（上海卷理8）：某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是，，，則此人能（）

A.不能做出這樣的三角形

B.做出一個銳角三角形

C.做出一個直角三角形

D.做出一個鈍角三角形

解析：設三角形的面積為S，三邊長度分別為a、b、c，則由題意知：×a×=S，×b×=S，×c×=S.

∴a=26S，b=22S，c=10S，∵b+c=32S＞26S=a，

∴存在這樣的三角形，且a邊最長.

b+c=（22S）+（10S）=584S＜（26S）=676S

∴該三角形為鈍角三角形，選D.

例8（湖北卷理17）：為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=（0≤x≤10），若不建個熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗用之和.

（1）求k的值及f（x）的表達式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值.

解析：（1）設隔熱層的厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C（x）=，再由C（0）=8得k=40，因此C（x）=，而建造費用為C（x）=6x.

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x）=20C（x）+C（x）=20×+6x=+6x=+6x（0≤x≤10）.

（2）解法1：f′（x）=6-，令f′（x）=0，

=6，解得x=5，x=-（舍去）.當0＜x＜5時，f′（x）＜0；

當5＜x＜10時，f′（x）＞0.

故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為f（5）=70萬元.

解法2：f（x）=+6x（0≤x≤10）

=+2（3x+5）-10≥2-10=70

當且僅當=2（3x+5）時，x=5或x=-（舍去）.

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.

總之，數學知識本身是抽象的，但它來源于生活，我們應讓學生在生活實踐中感知，并培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.