用矩陣分塊計(jì)算行列式的解法

房月華

摘要： 分塊矩陣一般處理階數(shù)較高的矩陣，使矩陣的結(jié)構(gòu)更清晰明朗，從而使一些矩陣的相關(guān)計(jì)算簡(jiǎn)單化.本文主要是利用分塊矩陣來解決一些復(fù)雜的行列式的計(jì)算，把矩陣的分塊思想轉(zhuǎn)移到行列式的計(jì)算上來，通過對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊使行列式的計(jì)算問題迎刃而解，收到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果.

關(guān)鍵詞： 分塊矩陣行列式計(jì)算

一、引言

數(shù)學(xué)上，矩陣行列式的計(jì)算是高等代數(shù)的一個(gè)傳統(tǒng)而悠久的問題.對(duì)于一般的高階矩陣，在計(jì)算和證明這些矩陣時(shí)會(huì)很繁瑣.分塊矩陣形象地揭示了矩陣的結(jié)構(gòu).矩陣的分塊在處理高階矩陣時(shí)是常用的一種方法.方陣A的行列式記做|A|，是由矩陣A的元素按著原來的排列順序得到的行列式，而分塊矩陣的行列式即是先把矩陣進(jìn)行分塊而后再求行列式，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.一般的n×n階行列式的求行列式，在計(jì)算上比較復(fù)雜.本文將矩陣的分塊思想法轉(zhuǎn)移到行列式的計(jì)算上來，收到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果.

一般對(duì)于高階行列式的計(jì)算通常都是根據(jù)行列式的性質(zhì)采用拉普拉斯定理按行（列）展開，但是計(jì)算比較復(fù)雜.本文利用矩陣分塊的方法來計(jì)算高階矩陣的行列式，既使人明了矩陣的結(jié)構(gòu)，又簡(jiǎn)化了行列式的計(jì)算.

二、基礎(chǔ)知識(shí)及預(yù)備引理

1.分塊矩陣的概念

用縱線與橫線將矩陣A劃分成若干較小的矩陣：

AA…AAA…A… …AA…A

其中每個(gè)小矩陣A（i=1，…s;j=1，…t）叫做A的一個(gè)子塊；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣.

2.分塊矩陣的性質(zhì)

設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣組成A=AAABBBCCC，其中A，A，A，B，B，B，C，C，C都是s×t矩陣，M是任一s×s方陣，對(duì)于矩陣B=A AAMB MB MBC CC，則|B|=|M||A|.

3.重要定理

拉普拉斯定理設(shè)在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）個(gè)行，由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.

引理設(shè)矩陣P=B0… 0B B …0……?塤0B B… B或P=BB…B 0B…B… … ?塤… 0 0 0 B

其中BB…B均為方陣，則|P|=|B||B||B|…|B|.

三、利用矩陣分塊計(jì)算行列式

在線性代數(shù)中，分塊矩陣是一個(gè)十分重要的概念，它可以使矩陣的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了，使矩陣的運(yùn)算得以簡(jiǎn)化，還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計(jì)算問題.利用分塊矩陣方法計(jì)算行列式，使行列式的計(jì)算變得簡(jiǎn)單.

1.矩陣為上（下）三角時(shí)行列式|M|的計(jì)算

若P=B 0 … 0BB … 0…… ?塤 0BB…B或P=BB…B 0B…B?噎 ?噎 ?塤… 0 0 0 B為上（下）三角形分塊矩陣則對(duì)應(yīng)的行列式的值等于其主對(duì)角線上的各分塊矩陣的行列式的乘積，其中B是n階方陣（i=1，2，…，s）且n=n，即：|P|=|B||B||B|…|B|成立.

2.一般方陣行列式的計(jì)算

定理假設(shè)M=ABCD為一個(gè)分塊矩陣，其中A為r階方陣，B為r×s陣，C為s×r陣，D為s階方陣，則：（1）當(dāng)A為可逆時(shí)，|M|= |A||D-CAB|；

（2）當(dāng)為D可逆時(shí)，|M|=|D||A-BDC|.

證明：（1）當(dāng)|A|≠0時(shí)，有IO-CAIABCD=ABOD-CAB，兩邊取行列式即可得（1）式.

（2）當(dāng)|D|≠0時(shí)，有I-BDO I=ABCD=A-BDCO C D，兩邊取行列式得（2）式.

推論設(shè)M=ABCD是一個(gè)四分塊2n階矩陣，其中ABCD均是n階方陣，則：（1）當(dāng)A可逆且AC=CA時(shí)，|M|=|AD-CB|;當(dāng)A可逆且AB=BA時(shí)，|M|=|DA-CB|；（2）當(dāng)D可逆且DC=CD時(shí)，|M|= |AD-BC|；當(dāng)D可逆且DB=BD時(shí)，|M|=|DA-BC|.

例：計(jì)算xaaaaxaaaaxaaaax

解：令A(yù)=xaaxB=aaaaC=aaaaD=xaax

顯然AC=CA且AD=xaaxxaax=x+a2ax2ax x+a

CB=aaaaaaaa=2a2a2a2aAD-CB= x-a 2ax-2a2ax-2ax-a，因此有xaaaaxaaaaxaaaax=ABCD=|AD-CB|=（x-a）-（2ax-2a）=（x+3a）（x-a）

四、小結(jié)

本文就形如|H|=ADCB（A，B，C，D分別是m，n，m×n和m×n矩陣）的類型的行列式計(jì)算進(jìn)行了分析，其中將一個(gè)行列式分塊成A，B，C，D后，依據(jù)不同的情況給出了不同的計(jì)算方法，在計(jì)算行列式時(shí)可根據(jù)這幾種不同的情況具體問題具體對(duì)待，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.

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此文章系衡水學(xué)院院級(jí)重點(diǎn)課題，課題編號(hào)為：2010009。