求數列通項公式的常用方法

張國慶

數列與高中數學的其他知識有著緊密的聯系，具有較強的綜合性和實用性，而數列的通項公式是數列的核心內容之一，它如同函數中的解析式一樣，有了解析式便可研究其性質等；而有了數列的通項公式便可求出任一項及前n項和等.因此，求數列的通項公式往往是解題的突破口，關鍵點.下面談談求數列通項公式的幾種常見的方法.

一、觀察法

例1：根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）變形為：10-1，10-1，10-1，10-1，……

∴通項公式為：10-1

（2）變形為：1/2，1/2，1/2，1/2，……

∴通項公式為：1/2

觀察法就是要抓住各項的特點，關鍵是找出各項與項數n的關系.

二、定義法

例2：已知數列{a}是公差為d的等差數列，數列{b}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數列，若函數f（x）=（x-1），且a= f（d-1），a=f（d+1），b=f（q+1），b=f（q-1），求數列{a}和{b}的通項公式.

解：（1）∵a=f（d-1）=（d-2），a=f（d+1）=d

∴a-a=d-（d-2）=2d

∴d=2

∴a=a+（n-1）d=2（n-1）

又b=f（q+1）=q，b=f（q-1）=（q-2）

由q∈R，且q≠1，得q=-2

∴b=b·q=4·（-2）

當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的通項公式，只需求得首項及公差公比.

三、疊加法

例3：已知數列6，9，14，21，30，…，求此數列的一個通項.

解：已知a-a=3，a-a=5，…，a-a=2n-1，…

各式相加得：a-a=3+5+…+（2n-1）=n-1

∴a=n+5

四、疊乘法

例4：設數列{a}是首項為1的正項數列，且滿足（n+1）a-na+aa=0，求數列{a}的通項公式.

解：∵（n+1）a-na+aa=0，可分解為［（n+1）a-na］（a+a）=0

又∵{a}是首項為1的正項數列，∴a+a≠0，∴（n+1）a-na=0，由此得出：a=2a，2a=3a，…，（n-1）a=na，這n-1個式子，將其相乘得：a=na，又∵a=1，∴a=，∵n=1也成立，∴a=（n∈N*）.

五、歸納、猜想法

如果給出了數列的前幾項和能求出數列的前幾項，我們就可以先根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，再用數學歸納法證明之.

例5：已知數列{a}滿足a=1，S=a，求通項a.

解析：由a=1，當n=2時，a+a=a，a=2a=2，當n=3時，a+a+a=2a，a=3，同理可得a=4，……猜想得a=n，下面用數學歸納法證明.

（1）當n=1，2，3時，已驗算成立；

（2）假設n=k時，猜想成立，即a=k，當n=k+1時，S=a，又S=a=，二式相減，得a=a-，∴a=k+1，即n=k+1時猜想也成立，由（1）（2）知對于一切自然數n都有a=n.

六、待定系數法

例6：數列{a}滿足a=1且a+2a=1，求其通項公式.

解：由已知，a+2a=1，即a=-2a+1

令a+x=-2（a+x），則a=-2a-3x，于是-3x=1，故x=-

∴a-=-2（a-）

故{a-}是公比q為-2，首項為a-=的等比數列

∴a-=（-2），a=-（-2）

評注：一般地，當A≠1時，令a＋x=A（a+x），有a=Aa＋（A-1）x，則有（A-1）x=B得x=，從而a＋=A（a+），于是數列{a＋}是首項為a+、公比為A的等比數列，故a＋=（a+）A，從而a=（a+）A-；特別地，當A=0時，{a}為等差數列；當A≠0，B=0時，數列{a}為等比數列.

七、倒數法

例7：已知數列{a}滿足a=1且a=，求a.

解：由a=，有==+，即-=

所以，數列{}是首項為=1、公差為d=的等差數列，

則=1+（n-1）=，從而a=.

此外，還有公式法和輔助數列法等，由于篇幅關系，這里不再贅述.