求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

張國(guó)慶

數(shù)列與高中數(shù)學(xué)的其他知識(shí)有著緊密的聯(lián)系，具有較強(qiáng)的綜合性和實(shí)用性，而數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式便可研究其性質(zhì)等；而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)及前n項(xiàng)和等.因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口，關(guān)鍵點(diǎn).下面談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見(jiàn)的方法.

一、觀察法

例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）變形為：10-1，10-1，10-1，10-1，……

∴通項(xiàng)公式為：10-1

（2）變形為：1/2，1/2，1/2，1/2，……

∴通項(xiàng)公式為：1/2

觀察法就是要抓住各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系.

二、定義法

例2：已知數(shù)列{a}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f（x）=（x-1），且a= f（d-1），a=f（d+1），b=f（q+1），b=f（q-1），求數(shù)列{a}和{b}的通項(xiàng)公式.

解：（1）∵a=f（d-1）=（d-2），a=f（d+1）=d

∴a-a=d-（d-2）=2d

∴d=2

∴a=a+（n-1）d=2（n-1）

又b=f（q+1）=q，b=f（q-1）=（q-2）

由q∈R，且q≠1，得q=-2

∴b=b·q=4·（-2）

當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比.

三、疊加法

例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，…，求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

解：已知a-a=3，a-a=5，…，a-a=2n-1，…

各式相加得：a-a=3+5+…+（2n-1）=n-1

∴a=n+5

四、疊乘法

例4：設(shè)數(shù)列{a}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足（n+1）a-na+aa=0，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：∵（n+1）a-na+aa=0，可分解為［（n+1）a-na］（a+a）=0

又∵{a}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴a+a≠0，∴（n+1）a-na=0，由此得出：a=2a，2a=3a，…，（n-1）a=na，這n-1個(gè)式子，將其相乘得：a=na，又∵a=1，∴a=，∵n=1也成立，∴a=（n∈N*）.

五、歸納、猜想法

如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)和能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們就可以先根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

例5：已知數(shù)列{a}滿足a=1，S=a，求通項(xiàng)a.

解析：由a=1，當(dāng)n=2時(shí)，a+a=a，a=2a=2，當(dāng)n=3時(shí)，a+a+a=2a，a=3，同理可得a=4，……猜想得a=n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已驗(yàn)算成立；

（2）假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即a=k，當(dāng)n=k+1時(shí)，S=a，又S=a=，二式相減，得a=a-，∴a=k+1，即n=k+1時(shí)猜想也成立，由（1）（2）知對(duì)于一切自然數(shù)n都有a=n.

六、待定系數(shù)法

例6：數(shù)列{a}滿足a=1且a+2a=1，求其通項(xiàng)公式.

解：由已知，a+2a=1，即a=-2a+1

令a+x=-2（a+x），則a=-2a-3x，于是-3x=1，故x=-

∴a-=-2（a-）

故{a-}是公比q為-2，首項(xiàng)為a-=的等比數(shù)列

∴a-=（-2），a=-（-2）

評(píng)注：一般地，當(dāng)A≠1時(shí)，令a＋x=A（a+x），有a=Aa＋（A-1）x，則有（A-1）x=B得x=，從而a＋=A（a+），于是數(shù)列{a＋}是首項(xiàng)為a+、公比為A的等比數(shù)列，故a＋=（a+）A，從而a=（a+）A-；特別地，當(dāng)A=0時(shí)，{a}為等差數(shù)列；當(dāng)A≠0，B=0時(shí)，數(shù)列{a}為等比數(shù)列.

七、倒數(shù)法

例7：已知數(shù)列{a}滿足a=1且a=，求a.

解：由a=，有==+，即-=

所以，數(shù)列{}是首項(xiàng)為=1、公差為d=的等差數(shù)列，

則=1+（n-1）=，從而a=.

此外，還有公式法和輔助數(shù)列法等，由于篇幅關(guān)系，這里不再贅述.