從一道課本習題談初中數學模型思想的培養

李文俊

蘇科版教材八上第38頁第9題：如圖（1），點A、B在直線l同側，點B′是點B關于l的對稱點，AB′交l于點P.

（1）AB′與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在l上再取一點Q，并連接AQ和QB，比較AQ+BQ與AP+PB的大小，并說明理由.

這個數學模型是初中數學中的一個典型模型，可以歸納為“兩定點，直線上一動點”的數學模型.

條件為：如圖（2），A、B是直線l同旁的兩個定點.

問題是：①在直線上確定一點P，使∠APC=∠BPD.

②在直線上確定一點P，使PA+PB最小.

方法：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，則∠APC=∠BPD；PA+PB=PA+PB′=AB′的值最小.

這一數學模型在初中數學中的應用非常廣泛，若學生掌握了這一數學模型，則對于他們解決相關問題會有很大幫助.

例1：如圖（3）所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

模型應用：作出點B的軸對稱點B1，連接AB1交直線l于點P，則點P為所求的奶站位置.

例2：如圖（4）所示，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點.若AE=2，EM+CM的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應用：要求線段和最小值，關鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段，后應用所學的知識求出這條線段的長度即可.

例3：如圖（5）所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，求PB的長.

模型應用：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法.

例4：如圖（6），等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底、下底中點連線EF上的一點，則PA+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應用：根據等腰梯形的性質知道，點A的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點.而運用好直角三角形的性質是解題的又一個關鍵.

例5：如圖（7），菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應用：根據菱形的性質知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點.

例6：如圖（8）所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應用：根據正方形的性質知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點.

例7：如圖（9），在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖cm.

模型應用：在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉化成使得PB+PQ的和最小問題.因為題目中有一個動點P，兩個定點B，Q符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以應用該模型.

例8：如圖（10），MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.

模型應用：根據圓的對稱性，作出點A的對稱點D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度.

例9：如圖（11），正比例函數y=x的圖像與反比例函數y=（k≠0）在第一象限的圖像交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）如果B為反比例函數在第一象限圖像上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標為1，在x軸上求一點P，使PA+PB最小.

模型應用：利用三角形的面積和交點坐標的意義，確定出點A的坐標是解題的第一個關鍵.要想確定出PA+PB的最小值，關鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學們聯想我們以前學過的對稱作圖問題，明白了最小的內涵，解題的過程就迎刃而解了.

例10：如圖（12），在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是.

（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

模型應用：在這里△AOC周長等于AC+CO+AO，而A，O是定點，所以AO是一個定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉化成使得AC+CO的和最小問題.因為題目中有一個動點C，兩個定點A，O符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法.

例11：如圖（13），在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；

（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.

模型應用：本題的最大亮點是將一個動點求最小值和兩個動點求最小值問題糅合在一起，并很好地運用到平面直角坐標系中.

例12：求函數y=+的最小值.

模型應用：本題是一道求函數最大值的問題，可以利用平面直角坐標系中兩點間距離將這個問題轉化成幾何問題.如圖（14），A（2，3），B（0，1），在x軸上有一點P，則PA+PB的最小值就是y=+的最小值，所以作出B（0，1）關于x軸對稱的點B′（0，-1）最小值等于AB′的長度.

通過對這個數學模型的分析我們發現，這個模型可以放在諸如三角形、直角梯形、等腰梯形、菱形、正方形、圓、函數等問題中，來解決線段和最小的問題.在這一數學模型中關鍵是抽象出“兩定點，直線上一動點”的基本模型，然后就利用這一數學模型解決相應問題.若學生不理解掌握這一數學模型，解決上述問題就很困難，而且會出現老師反復講，學生還是不理解的情況，使教學效果事倍功半.

因此，在平時的教學過程中要積極滲透數學模型思想，講清講透每個數學模型，這樣有利于拓展數學知識面，培養數學應用意識，有利于培養學生思維的深刻性、廣闊性和靈活性，培養學生的問題意識，學會數學地思考，為創新能力和實踐能力的培養提供廣闊的空間、打下堅實的基礎.