線性代數教學點滴

吳世玕

【摘要】本文總結了作者上線性代數課的一些經驗，老師應該向學生講清楚為什么必須學線性代數，要抓住核心內容和核心方法，要積累一些反例，要培養學生的團隊合作精神，對優秀學生要進行特別培養，努力提高研究生升學率.

【關鍵詞】線性代數;核心內容;核心方法;反例;團隊合作

【中圖分類號】G421

【文獻標識碼】A

引 言

線性代數是理工科本科生的必修課程，是研究生入學考試必考的數學科目之一.這門課成績的好壞，直接影響到學生將來考研的成績.從應用來看，工程計算上遇有太多變量時，時常將問題線性化，然后用線性代數方法處理問題，足見這門課的重要性.如何教好這門課，是值得我們每一位上課老師深思的問題.這門課有些概念，對于初學者來說，的確太抽象了，作為老師，該怎么教，才能讓學生產生學習興趣，才能自覺去鉆研這門課？我想用這篇文章拋磚引玉，希望引起同行們的廣泛討論，共同提高教學水平.

1.為什么要學習線性代數

這個問題有必要向學生作些簡要介紹.否則，由于這門課比較抽象，學生可能沒興趣學這門課.作為這門課程的老師，應該對此有些了解.

線性代數的計算方法是處理現代工程計算的重要方法，比如線性性質、向量、線性空間、矩陣等等，在工程計算中，經常用到.有時工程上研究的問題相當復雜，用到成百上千的變量，這樣復雜的問題，用矩陣來處理，是比較好的方法.線性代數已成為現代工程技術人員必修的課程之一.

線性擬合和非線性擬合是數據處理常用的方法，以往由于計算手段的限制,非線性擬合幾乎無法實現.因此,傳統的數據處理方法中非線性問題線性化計算是一種基本手段.目前,盡管計算機數據處理已經很普遍,但由于習慣于傳統的方法,或是由于非線性擬合過程常遇到不收斂等問題,非線性問題線性化計算這一傳統的數據處理方法仍在廣泛使用.作為線性代數的主要軟件工具有MATLAB，它是矩陣計算的主要工具.

從數學上來講，很多非線性化問題可以通過一些數學變換化成線性問題.比如一些非線性回歸問題就可以通過變量的倒代換對數變換等化成線性回歸問題.我們也可以利用泰勒公式，將一個復雜函數化成近似的多項式，再將多項式轉化為線性方程（這只要將各個冪函數當作一個新變量就可以）.

2.抓住核心內容和核心方法

工科線性代數，課時比較少，我們學校只有32學時.在這么短時間內，要教好或學好這門課程，老師要下些工夫，學生也要有足夠的學習興趣和精力的投入.若老師抓不住核心內容和核心方法，就很難教好這門課.線性代數課，一般包括行列式、向量、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間.由于課時少，我們實在是沒時間講解線性空間的內容，只能講解向量空間一些基本概念，并在線性方程組中講解向量空間時加以應用.

線性代數課程的核心內容是線性方程組，核心方法是矩陣的初等變換方法.行列式、克萊姆法則、向量、矩陣都圍繞著線性方程組展開.克萊姆法則，解決了當系數矩陣是方陣時，何時有唯一解，并用行列式給出了解的表達式，在線性方程組理論中有重要價值.向量模型為線性方程組解決了解空間模型的問題，認為線性方程組的解是向量空間中的向量，可以定義解向量之間的線性運算.矩陣運算為線性方程組的求解提供了行初等變換方法，利用這個方法，可以判別非齊次線性方程組是否有解，用行初等變換求解.向量線性關系為線性方程組通解提供了理論基礎，非齊次線性方程組的任一解都可由其本身的一個特解及對應齊次線性方程組基礎解系的線性運算來表示.矩陣特征值、特征向量、二次型內容，是線性方程組理論及方法的一個應用，這個應用也為空間解析幾何中討論二次曲線、二次曲面標準形問題提供了很好的方法.矩陣的初等變換方法，可以用于求行列式，求向量組的秩，并判別向量組是否線性相關，求向量組的最大線性無關組，用最大線性無關組線性表示其余向量，求逆矩陣，用行初等變換求解線性方程組的通解，求矩陣的特征向量.

3.用實際問題引入線性代數的基本概念，用反例說明一些運算的“奇怪”性質

在講解矩陣相乘、向量（幾何學及力學中，向量是作為有大小并有方向的量，而在線性代數中，向量是作為有序數組）、向量線性運算、向量線性相關、向量線性無關等基本概念時，要盡可能地用一些實際問題來引入，不要直接給出定義，以免讓學生覺得太抽象，還以為這只是數學老師在故弄玄虛.在這方面，李尚志教授就做得很好，值得我們學習.

我們可以用坐標變換公式來引入一般的線性變換，由線性變換的復合（簡單點，就講3個變量的線性變換的復合）引入矩陣相乘概念.也可以借用銷售與收益的模型（收益矩陣=銷量矩陣×價格矩陣）來引入矩陣相乘的概念.在高等數學中，兩個向量的內積也可看作一個行矩陣與一個列矩陣相乘.

由于我們的工資表、成績表、線性方程組的解，都只關心各個項的取值，而且取值的順序不同，所代表的意義就不相同，因此，我們有必要研究有序數組，把這種有序數組稱為向量.線性代數中講的向量就是有序數組，這一點一定要強調.因為，我們發現不少同學做線性代數作業時，向量還是標出箭頭，沒辦法忘記幾何、力學中所講的向量，把握不住線性代數中所講的向量與幾何、力學中所講的向量的共性.由具體過渡到抽象，必須忘記一個一個具體的事物，而只把握住這些事物的共性.這就是所謂“聰明難，糊涂難，由聰明變糊涂更難”！（鄭板橋語）

為什么平面直角坐標系，要而且只要兩條坐標軸？為什么空間直角坐標系，要而且只要三條坐標軸？我相信，很多沒學過線性代數的同學都沒法回答這個問題.為什么有些線性方程組中，方程個數會比未知數個數更多？根據學生在中學的經驗，線性方程組中方程個數應該與未知數個數一樣多，才能確定未知數的取值.那么，這是否意味著方程個數太多了,也就是說有些方程是多余的？有些方程只是另外一些方程通過同解變換就可得到的？由這些問題展開討論，我們就可引入向量組的線性運算、線性相關、線性無關的概念了.像這樣由一些具體問題引入抽象的概念，原本抽象的概念就變得很自然了.

施密特正交化方法，在三維向量空間中，實際上可以理解為向量的正交分解.給定線性無關向量組α1，α2，α3,記ξ1=α1，用α2減去α2在ξ1方向的分向量得到ξ2，用α3減去α3在ξ1,ξ2方向的分向量得到ξ3，則ξ1,ξ2,ξ3是與α1,α2,α3等價的正交向量組.向量α在ξ方向的分向量是ξ方向單位向量的倍向量，其系數就是向量α與ξ方向單位向量的內積（即α在ξ方向的投影），這一點可用空間解析幾何中向量的投影作為基礎知識.有了三維空間中向量組的正交化方法，就很容易推廣到一般的n維向量空間，得到n維向量空間中的施密特正交化方法.

為什么要講相似矩陣？很多學過線性代數的同學都不知道為什么要學相似矩陣.其實，這可以從矩陣計算的需要來講.我們知道，與對角矩陣相似的矩陣，其矩陣多項式（甚至矩陣冪級數）的計算，都非常簡單.那么，一個矩陣相似于一個對角矩陣的條件是什么呢？將矩陣相似的表達式用分塊矩陣相乘形式展開，就發現我們必須從矩陣特征值、特征向量學起.只要抓住了關鍵問題，由關鍵問題順藤摸瓜，就會引出一大堆的小問題，由各個小問題引入相應的概念，學生就不再覺得抽象.只要學生不覺得抽象，這門課就好學了.

在實數、復數運算中，a-a=b-b，ab=ba，(a-b)(a+b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2，若a≠0，ax=ab,則x=b（消去律成立）.在矩陣運算中，相似的運算律成立嗎？在一元線性方程中，若a≠0，則方程ax=b有唯一解x=a-1b=ba-1.在線性方程組中，若A≠0，則線性方程組Ax=b也有唯一解，并可類似地表示為x=A-1b=bA-1嗎？若可以，A-1是什么？A-1乘在b的左邊和右邊都有意義嗎？即使有意義（當A,b是同階數的方陣時，A-1b,bA-1都有意義），它們會相等嗎？像這些問題，我們都可以構造反例來說明，使學生學起來對概念的理解會更清晰.文獻［7］中，孫兵提供了一些反例，作為老師，我們平時就要多積累一些反例,當學生覺得以上運算的“怪現象”難以理解時，我們就可以拿出反例說明問題.

4.通過線性代數的學習，培養學生的團隊合作精神

我們所處的社會是個競爭的社會.競爭，就要有實力！個人的力量總是微不足道的，然而，團結起來力量大！我們的學生，總是要面對社會的，為了學生將來能很快適應社會，我們有必要在教學過程中，培養學生的競爭意識，培養學生的團隊合作精神.我們可以將學生分成若干個小組，給每個小組出一個比較難點的題目，讓學生課后討論.只要做對了，或對問題有比較好的想法，我們就給這一組的同學平時成績加上適當的分數作為鼓勵.這個比較難的題目，學生實在做不出的話，老師可以適當提示一下，目的在于鼓勵學生繼續做下去.在分組時，注意成績好的與成績稍差的，要相互搭配（誰成績好，誰成績稍差，老師在平時改作業時，要注意做些記錄），男女同學也要相互搭配，這樣他們討論起來才有興趣，才更賣勁！做得比較好的，要在班上表揚，讓學生感覺自己的勞動得到了老師和同學的認可.優秀學生是表揚與激勵出來的！這種表揚，也可增強同學們的集體榮譽感，對培養學生的團隊合作精神很有幫助.

5.對優秀學生要特別培養，努力提高研究生升學率

我們培養的學生，在畢業時，總有一部分學生要再深造的.為了提高研究生升學率，我們有必要在課件中穿插一些研究生升學考試題，擴大同學們的知識面.在講解研究生考題時，要盡可能精講，講清楚題目中所包含的知識面、解題方法的多樣性.在選題時，盡可能選綜合程度比較高的題，這樣就可以通過精選出來的題將教材上的知識點穿插起來，讓同學有“一日游遍三川五岳”的感覺.學習優秀的學生從中受益匪淺，學習一般的同學也增長了見識.

【參考文獻】

［1］王郁文，梁逸曾，等.非線性問題線性化計算的改進［J］.計算機與應用化學，2005，22（4）：295-300.

［2］汪榮鑫.數理統計［M］.西安：西安交通大學出版社，2011.

［3］劉二根.線性代數［M］.南昌：江西高校出版社，2010.

［4］楊文茂，李全英.空間解析幾何［M］.武漢：武漢大學出版社，1999.

［5］李尚志.線性代數［M］.北京：高等教育出版社，2006年5月.

［6］李尚志.讓抽象變得顯然［J］.中國大學教學，2006（7）：11-13.

［7］孫兵.線性代數教學中的反例構造［J］.數學理論與應用，2011，31（2）:39-40.