如何培養“大學數學”教學中的發散思維與創新能力

朱文剛

摘 要：大學數學是高等院校理工科專業的重要基礎課程，教師的主要任務在于培養學生的數學思維方法和創新能力。針對當前存在的常見問題，本文探討了如何在大學數學教學中強調數學思想方法的教學，如何培養學生的數學發散思維與創新能力。

關鍵詞：大學數學 發散思維 創新能力

大學數學是高校所有理工科及一些文科（如經濟管理，金融會計）專業的重要基礎課，是他們學習專業基礎課及專業課的必備前提，是學習和研究現代科學技術、進行創新工作必不可少的工具和理論基礎。從某種意義上說，不學習大學數學，不能算得上是一個接受高等教育的現代新人。大學數學主要包括“高等數學”，“線性代數”，以及“概率統計”，這三門課程蘊含了深刻的數學思想及數學方法，對培養學生的發散思維能力與創新能力都起著至關重要的作用。

一、當前“大學數學”教學中存在的常見問題

目前大學數學教材五花八門，有知名出版社出版的，也有不知名出版社出版的，他們存在一個共同點，那就是教材都表現為一整套的邏輯演繹體系：從定義出發，再到定理證明，最后到舉例結束。很多教師按此模式教學，整個過程機械呆板，學生接受起來枯燥乏味，看不到思維過程，不易體會背景，極大地限制了學生的發散思維與創新能力的培養。

二、“大學數學”教學中數學發散思維能力的培養

學生的發散思維能力是數學能力中最基礎、使用率較高的一種。它直接影響著學生理解能力和數學的教學效果。在教學任務中，訓練學生的發散思維，培養發散思維能力，既是基本任務，又是新課標的基本要求。發散思維是要求沿著不同方向，從不同的角度去思考問題。教師以不同方向、不同角度指導、啟發學生，使學生能從多方面獲得解決問題的方法的一種思維方式。數學學科的特點與發散思維的特征相輔相成：多思路、多方面地思考問題而不是一條路走到底；多角度、多層次地分析問題、解決問題也是每一位數學教師最真摯的意愿。例如高等數學中隱函數的求導、重積分的計算，以及求立體的體積等，均有多種不同的解法；線性代數中計算行列式、求解帶有未知參數的線性方程組，以及判定向量組的線性相關性等，也有多種不同的解法；再就是概率統計中有些概率問題可以通過古典概率公式計算，也可以利用條件概率及乘法公式計算，等等，不一而足。

興趣是最好的老師。當一個人對事物充滿興趣時，就會擁有無比充足的動力去主動深入其中，努力地探索其奧妙。學生學習也不例外，只有學生對數學充滿興趣，學生才會從同一問題或同一題源出發，尋求不同的途徑、方法來解決這一問題。教師要結合數學學科的知識特點及大學生的心理特征，科學設計教學程序，認真組織課堂語言，注重誘導和引發學生的認知興趣，激發其強烈的求知欲，使學生能夠多方面、多角度、多方法地主動深入問題中，舉一反三、觸類旁通地運用發散思維去分析問題、解決問題。

三、突出數學思想方法的教學

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數學思想方法”。常見的數學四大思想為：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合［１］。

1.函數與方程。

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。如人大第四版《線性代數》［２］中介紹的“投入產出”經濟模型就是充分地利用函數與方程的數學思想來解決實際問題的。

2.等價轉化。

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化的、簡單的問題。如《概率統計》教程中引入的隨機變量就是一種等價轉換的思想，他將某一隨機事件轉化為隨機變量的取值，從而可以方便地利用數學分析的方法研究隨機現象。

3.分類討論。

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以占有重要的位置。例如同濟版《高等數學》［３］中無窮級數一章中一個習題：a＞0）討論級數的收斂性：先利用達朗貝爾判別法：當0＜a＜1時級數收斂，當a＞1時，級數發散；而當a=1時，級數可能收斂，亦可能發散，此時達朗貝爾法不能判定，需借助于p-級數的收斂性：當a=1，0＜s≤1時，級數發散；而當a=1，s＞1時，級數收斂。至此，問題分多種情況討論完畢。

4.數形結合。

數形結合是一種數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

四、“大學數學”教學中創新能力的培養

由于受到傳統教學的影響，長期以來數學教學呈現出機械和程序化的傾向，缺乏生機和樂趣，缺乏對創新能力的培養，學生的創新思維能力得不到充分的發揮，思維的自由性和開放性受到限制。創新是人的本質特征，每位正常的學生都有一定的創新潛能，都能成為某方面的創新人才。二十一世紀是知識經濟的時代，呼喚具有創新精神的人才，呼喚創新性教學。堅信學生是創新的主體，就必須確立主人、主體、主角的人格本位的學生觀，構建以學生自主學習活動為基礎的新型教學過程，使教學活動真正建立在學生自主活動和探索的基礎上。教師的主要任務是創造各種條件，培養學生的創新意識和創新精神。

1.營造創新氛圍。

任何學生都具有創新潛能，要挖掘學生的這種創新潛能從而內化為學生的創新能力，教師應主動營造良好而濃厚的創新氛圍。總起來說，可以從以下幾個方面著手。

首先，數學教師自身要具備良好的創新精神，這是數學教學中培養學生創新能力的一個必不可少的因素。因為學生是主體，教師是主導，只有教師具有良好的創新能力，才能給學生樹立一個現實的楷模。這樣就能增強學生的自信心，極大地激發學生的創新熱情。

其次，輕松活潑的課堂氣氛和師生關系，是培養創新能力適宜的“氣候”與“土壤”。大學數學教學不同于中小學數學教學，應轉變中小學提倡的教師“教”和學生“學”的模式，實現由“教”向“學”過渡，營造適宜于學生主動參與、主動學習的活躍的課堂氣氛，從而形成有利于學生主體精神、創新意識、創新能力健康發展的寬松的教學環境。

最后，應該抽出一部分時間讓學生深入到社會實踐，把自己所學的數學知識應用到實際問題中，做到學有所成，學有所獲。

2.培養創新意識。

當前的教學現狀是大多數教師只是為了完成教學任務而組織教學，而質疑學生提出的新觀念、新創見、新想法，甚至在批改作業的過程中發現新解法不聞不問，極大地扼殺學生的創新熱情，無疑不能培養學生的創新意識，從而阻礙整個教育的發展。為了改變當前這種不良現狀，教師應該合理地引導學生的創新意識，通過各種教學手段（如多媒體教學）誘發學生的好奇心和求知欲，為學生創新意識的激發提供良好的條件。

3.激發學生興趣，培養學生創新精神。

巧用信息技術輔助教學，創設情境、激發學生的學習興趣，利用信息技術輔助教學，能在較短的時間內向學生提供豐富的感性材料，有助于學生憑借感性材料由形象思維迅速過渡到抽象思維，實現認識上的飛躍。在數學教學中，利用多媒體畫空間幾何圖形是一種非常有效的方法，因為圖形不僅美觀，而且能配以各種動畫效果。這樣一下就能抓住學生的好奇心，從而迅速激起他們的學習興趣，培養他們的創新精神。

五、總結

在“大學數學”教學中培養學生的數學發散思維與創新能力是一項艱巨而長期的任務，需要高校數學教師不斷實踐和總結，共同探討大學數學教學的改革方案，交流教學心得與教學經驗，多開展觀摩教學，促進以創新教育為核心的素質教育的實施和創新人才培養工作的開展，為我國培養出更多更好的創新人才。

參考文獻:

［1］顧泠.數學思想方法［M］.中央廣播電視大學出版社，2005.

［2］線性代數（第四版）［M］.中國人民大學出版社，2008.

［3］同濟大學數學系.高等數學（第六版）［M］.北京:高等教育出版社，2007.