為什么1+1=2

李愛君

【摘要】偶數能被2（抽象意義下自然）整除，奇數不能被2（抽象意義下自然）整除,奇數（包括素數）卻能被2（抽象意義下）相對整除，因為小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……絕對值的小數單位均為最大的小數單位0。5，最大的小數單位0。5決定著小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5，…的絕對值擁有相對整性質，相對整性質又為奇數能被2相對整除提供科學的理論依據，因此，1+1=2或者說2是數學首要公理。

【關鍵詞】分數單位；最大的分數單位是12；分數單位的個數；小數單位；最大的小數單位是0。5；小數單位的個數；相對整性質；為什么1+1=2

1。序 言

為什么1+1=2，欲想回答如此數學矛盾，初等數學需要引進新概念、定義，譬如小數單位、最大的小數單位是0。5、小數單位的個數、相對整性質，等等新概念，如此新的數學概念、定義與內涵既簡單又深奧，如果不引進一些數學新概念,如果不去辯證認識，如果不去辯證理解，無論如何那還是無法理解接受數學理論為什么1+1=2，這就是數學矛盾為什么1+1=2的焦點和難點與阻力點，同時亦明確指出為什么1+1=2絕對不是質疑算術公理1+1=2的正確性、而是科學回答算術公理1+1=2蘊含著的基本原理與哲理，希望數學教師率先轉變傳統的數學思維觀念，正視數學真理。

2敝匚路質概念與定義

稍有數學知識的人們都曉得分數、份數（分數單位的個數）、分數單位，關于什么是分數、什么是分數單位、什么是份數、什么是小數計數單位，不妨重溫分數概念，把一個單位“1”分成若干等份，表示這樣一份或幾份的數稱為分數，如12，15，26，73，分數的一般形式為mn(m，n為正整數)，n是把一個單位“1”平均分成的份數，稱為這個分數的“分母”，1n是表示其中一份的數，稱為“分數單位”，m表示其份數，即m個分數單位，稱為這一分數的“分子”，中間的橫線（本文中是斜線）稱為“分數線”，分母n規定不能為零。當上述m為負數時mn為負分數，正分數與負分數統稱為分數。分數單位1n，當n=1，2，3，4，5，6，7，8，9,10……則12，13，14，15，16，17，18，19，110……，分別是分數單位，當n=1時，1n=11=1是特殊情況，屬于整數分數，應另當別論。很顯然，最大的分數單位是12。

3敝匚灤∈計數單位的概念與定義

小數計數單位是指小數計數方法中，小數點右邊十分位、百分位、千分位……上的最具代表性的小數單位，分別為：0。1110，0。011100，0。00111000……最大的小數計數單位是0。1，初等數學只引入小數計數單位這對于理性認識還是遠遠不夠的，這是因為小數單位概念涵蓋著小數計數單位的含義與意義，而且最大的小數計數單位是0。1并非0。5，小數單位概念的意義更深刻、更廣泛，涵蓋著小數計數單位，并且小數的絕對值僅僅是小數內涵的一部分內容，因此說，如果不引進小數單位、小數單位的個數、最大的小數單位是0。5、相對整性質，等等一些新概念，就不可能正確地回答數學真理為什么1+1=2，敬請數學教師斟酌、定奪！

4筆裁詞切∈單位

如果將分數單位12，13，14，15，16，17，18，19，110……分別轉化為小數表達形式：0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……如果將小數0。5，0。 3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。1?，0。1……界定為小數單位，那么就可以將小數0。5，0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。142857?，0。125，0。 1?，0。1……統稱為小數單位，這是一個極其重要重大的不可缺少的認識，分數與小數互相對應，小數單位的個數與分數單位的個數互相對應，小數單位與分數單位互相對應，小數單位、分數單位是一個相對整體。

5弊畬蟮男∈單位是0。5

因為12是最大的分數單位，那么0。5就是最大的小數單位，而且小數單位與分數單位相互對應、彼此相當，因此，初等數學教科書公認12是最大的分數單位，那么初等數學教科書也需要而且務必公認0。5是最大的小數單位，分數與小數互相對應、份數（分數單位的個數）與小數單位的個數互相對應、最大的分數單位12與最大的小數單位0。5互相對應，務必互相聯系地看問題，當然無理數例外，因此，引進小數單位、最大的小數單位是0。5、相對整性質是正確的、切合實際的！需要人們轉變數學思維觀念，辯證認識，辯證理解，正確看待。

6筆裁詞竅嘍哉性質

相對整性質：其他小數的絕對值對比小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值更零散，換言之，小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值對比其他小數的絕對值相對整裝，在數值邏輯公理系統中，將這一相比較而言得到的相對整裝性質統稱為小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的相對整性質，為什么小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值會擁有相對整性質，因為它們的小數單位都是最大的小數單位0。5，最大的小數單位0。5決定著小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值擁有相對整性質，因此，唯獨小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5，……的絕對值擁有相對整性質，一次全部確定下來，無須逐一驗證，這是規律，其他小數不具備相對整性質，因為其他小數的小數單位0。3?，0。25，0。2，0。1 6?，0。1?4285 7?，0。125，0。 1?，0。1……均小于最大的小數單位0。5，一次全部排除，無須逐一驗證，這是規律，相對整性質是算術公理的“彎彎繞”，需要運用辯證邏輯辯證分析，辯證理解，正確看待，再次強調說明，千萬莫誤解，并非所有的小數都具有相對整性質，更不是小數的絕對值越大才具有相對整性質，只有小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值擁有相對整性質，否則就是對相對整性質的誤讀，誤解。

7。為什么1+1=2

偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除，奇數（包括素數）卻能被2在抽象意義下相對整除，因為小數0。5，-0。5，1。5，-1。5，2。5，-2。5，3。5，-3。5，4。5，-4。5，5。5，-5。5，6。5，-6。5……的絕對值擁有相對整性質，為奇數能被2相對整除提供科學的理論依據（亦可以理解成為奇數能被2哲理整除提供科學的理論根據），1+1=2或者說2是數學首要公理；偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除、奇數卻著實能被2在抽象意義下相對整除，傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數二者的排斥性、對立性、差異性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除、奇數卻能被2在抽象意義下相對整除是指奇數和偶數的異中之同、差異中的共性與同一性，二者與哲學的對立統一規律相吻合，有比較有鑒別方知奇數與偶數存在著“差異性”“差異中的共性與同一性”，因此說，奇數與偶數相反相成對立統一，蘊含著哲學的對立統一規律，哥德巴赫猜想——數論的“1+1”是數值邏輯公理系統中偶環節上的算術公理擁有客觀存在性，以上所談就是算術公理1+1=2蘊含著的基本原理與哲理，哲學（自然辯證法）以對立統一規律為切入點注入數學基礎、注入初等數學，為算術公理為什么1+1=2、初等數學的基礎理論指明了正確的前進方向！務必要突破傳統數學觀念的嚴重束縛！

【參考文獻】

［1］M?克萊因。古今數學思想［M］。北京大學數學系數學史翻譯組譯。上海：上海科學技術出版社，1981。

［2］谷超豪。數學詞典［M］。上海：上海辭書出版社，1993。