解決問題:起點·過程·終點……

顏壽春

教材的革新使新舊教材存在很大的差異，新課程把舊教材中的應用題變成了解決問題， 同時在教法方面也不同，舊教材的應用題教學突出雙基目標而解決問題的教學卻圍繞新課程的知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的三維目標. 新課程不要求設計獨立的單元進行編排，成為相對獨立的知識體系和相對孤立的教學過程，而要求設計分散式、稍帶式的編排，將解決問題融入在數與代數、空間與圖形領域、統計與概率領域、實踐活動和綜合領域等各方面；不要求將某些特定的數學知識放到人為編制的、特定的一種高于生活的情境以比較嚴謹的文字敘述結構，呈現比較枯燥，乏味、脫離學生實際的題目. 而要求淡化舊教材應用題的結構，由內容豐富，呈現形式多樣、問題更具挑戰性的“解決問題”，使原本枯燥的應用題更具人文性、生活性和趣味性；不要求以“例題引出解題技巧——認識這種解題技巧——記憶這種解題技巧——運用這種解題技巧——提供更多題目實踐——解題形成技巧”這樣一個機械的教學過程. 而要求的是新教材中解決問題的創設情景圖——學生提出問題——解決問題，并合理運用聯系、分析、想象、評估自我調控等有助于提高數學思維能力的典型教學模式. 不要求只會“理解數量關系——搜尋記憶中的數量關系式——套用數量關系式解題的一個模式簡單化的學習方式，而要求的是一個“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的“問題解決”式的學習方式.

一、解決問題的起點——發現問題、提出問題

雖然新教材的解決問題呈現的形式和條件及問題的特點發生了變化，但其“根據已知條件解答相關問題”的本質屬性并沒有改變. 解決問題要求學生從情境圖中的眾多信息中選出有用的信息來解決所要解決的問題，其實最后就還原成了兩個條件加一個問題的“傳統應用題”，與“傳統應用題”比較，這個過程需要學生來參與，因此在具體的教學中必須培養學生以下幾種能力：

１． 識別有用信息

《數學課程標準》要求學生能根據一定的情境“從數學的角度提出問題”，這就要求學生首先能從數學的角度看問題. 為了實現數學生活化，在新教材里出現了很多的情景圖. 一個很簡單的應用問題，教材常常以大幅的圖景來展現，圖上還出現很多對話框. 如新教材二年級下冊第１５頁例３：用“平均分”解決實際問題，例３的主題圖顯示了五條對話信息， 有本質的，有非本質的，也就是對解決問題是否有效，實際圖上只有“２４人要租幾條船”和“每條船限乘４人”這兩條信息是有效的，但是有部分學生不能看明白題意，無法識別，不會進行有選擇性的獲取有用信息，其實很多知識點學生早就掌握了，但就是這些所謂的情景圖分散了學生注意力，激發了學生“非數學”的聯想，導致學生很難分析情景圖的真正意義. 有些提出了幾個不是本節課要解決的問題，有些甚至提出的是牛頭不對馬尾的不是問題的問題. 所以，當情境圖中顯現眾多的條件，并非都有用處，常有多余時，教師首先應該讓學生看懂每個信息的意思，搞清楚是什么事再引導學生從具體的情景圖中篩選和捕捉出與數學有關的內容，使其明確誰和誰有關系，有怎樣的關系，要解決的是什么問題等，初步學會從眾多的信息中有選擇地去提取有用信息的能力，養成從數學角度看問題的習慣.

２． 學會數學化提問

解決問題之前先提出問題，是新教材的一個鮮明特點. 解決問題不難，難的是提出數學化問題. 所以要求學生根據情境圖，提出數學問題是一大難點. 而新教材中的另一個特點是：呈現的條件和所要解決的問題之間，并非是一一對應的關系. 所以，這一環節的核心就是篩選信息，找到信息之間的聯系，引導學生有理、有序地思考. 如果園圖上有四個條件，最上面一句是“果園里共有１８棵果樹”；左邊一句是“３種果樹的棵數相同；右邊一句是“小猴每次運４筐”；最下面一句是“共摘了２４筐水果，每種水果的筐數相同”. 題目要求是你能提出什么數學問題. 在出示情境圖后，一部分學生緘口不言，都快要趴在桌子上了，唯恐被點名回答問題. 這時老師不該心急，要留給學生一些思考的空間，教師可以少一些提問多做一些適當的點撥，引導學生進入最佳的求知狀態. 在學生回答“你能提出什么問題”前，先要引導學生對信息進行選擇、判斷、比較和聯系. 像以上的果園圖上的“果園里共有１８棵果樹”講了什么與“３種果樹的棵數相同”連起來可以提出什么數學問題，學生若再提不出問題，老師可借助圖式作進一步的指點. 通過畫面、文字描述和其他形式所提供的信息，引導學生去找相關的條件，再進行分析. 只要教師堅持引導，久而久之，給學生一個具體的場面，學生就會自覺地找出與數學有關的內容，養成從數學角度提問題的習慣.

３． 還原“敘述式應用題”

在情境圖中給出的眾多信息中選擇有用的數學信息，并提出所要解決的問題，問題加兩個對應的條件就能解決問題了. 其實，這就成了傳統應用題的版本了. 與老教材不同的是，新教材讓學生經歷了“提出問題——解決問題”的過程. 很多學生不能有條理地、清晰地表述思考過程，有的學生語無倫次，有的學生會做不會說. 如二年級下冊第８頁的解決蹺蹺板樂園的問題，學生看圖后都能提出蹺蹺板樂園一共有多少人？也能夠列式解答，但是讓學生把信息（條件）與問題連起來說出完整的應用題時，一部分學生啞口無言，有幾個會說，像“跑過來玩蹺蹺板和還有看的人一共有幾人？”但是語句不通順，無條理，意思表達不清，這時老師應該引導學生按照一定的秩序表達清楚，“每組４人，有３組人在玩蹺蹺板，又跑過來７人，蹺蹺板樂園一共有幾人？”等等. 指導學生仔細看情境圖，將圖文式、對話式的還原成“文字敘述式應用題”的表達方式，讓學生對于所要解決的問題及相應的有用信息應該用簡潔而又嚴謹的文字來表述，而不至于看到一幅情境圖像在看圖說話一樣說出一大篇來. 這樣既排除了圖片情境與人物對話的干擾，又有利于數量關系的教學.

二、解決問題的過程——思考問題、分析問題

解決問題的過程是思維的發展過程，是培養靈活性、獨創性的窗口，那么怎樣培養學生解決問題的能力呢？問題解決能力的培養其本質是學生運用已經獲得的知識，去發現問題、思考問題、分析問題和解決問題的過程.

１． 分析數量關系

由于新教材中的解決問題重視鼓勵學生根據已有的經驗解題，很多老師在教學中往往把關注點集中在情境創設、 收集等“過程”，對數量關系式之類的數學模型，則比較簡單、草率，甚至不敢正面總結數量關系式，造成數量關系分析的弱化，造成了學生不會分析數量，解決問題時往往憑借自己的感覺去猜測列式，一旦學生出現錯誤時教師卻很難用更有效的方法去協助學生去理解，因此教師在解決問題教學時，加強數量關系的教學，不要過分簡化，如蜻蜓點水，一帶而過. 數量關系是前人的經驗總結，是數學知識的重要組成部分，它為學生解決同類數學問題提供基本的方法與策略. 實踐證明，分析數量關系是解決應用題的核心，只有理解、掌握了必要的基本數量關系式，學生才可能在獲取信息后，盡快形成解題思路，找到解題策略，最終達成問題的解決. 不管新教材應用題的呈現方式如何變化，“根據已知條件解答應用題”的本質屬性不變，教師就必須引導學生分析數量關系. 比如教學相差關系問題：“白兔１０只，黑兔７只，白兔比黑兔多幾只？”用分析法讓學生通過動手畫一畫、擺一擺圖片，白兔１０只擺１０個圓片，黑兔７只在１０個圓片的下面一個對一個的擺出７個圓片，然后讓學生說說圓片圖的意思，再引導學生列式解答. 或者采用綜合法引導學生進行分析，求白兔比黑兔多幾只？就是說白兔和黑兔相差幾只，也就是求相差數，相差數 ＝ 大數 － 小數，大數是白兔（１０只），小數是黑兔（７只），所以算式是１０ － ７ ＝ ３（只），之后可以讓學生說出算式中每個數表示什么意思“１０”表示１０只白兔，“７”表示與７只白兔同樣多的７只黑兔，３表示白兔與黑兔相差的只數. 讓學生在動手、動腦、動口中獲得大量的感性知識，再抽象、概括出基本的數量關系，應用數量關系進行有理有據的分析、推理，能有效地理解和掌握解決問題的方法，并建立起“數學模型”，這樣學生才會真正運用數學知識來解決問題.

２． 交流思維過程

在解決問題的時候，老師如果不去指引學生去敘述學生自己所理解的數量關系，當今后在解決問題的過程中如果出現數據增大，或者是信息量增添，那么學生就很有可能會出現目瞪口呆無從下手的情況，因為在“解決問題”教學的起始階段，沒有很好地讓學生結合具體情景去表述自己的解題思路，導致了讓學生的思維停留于生活經驗的感悟或直覺判斷的層面上，因此在解決問題的過程中對學生思維的進程要給予極大的關注，當然還要引導學生關注數學信息與數學問題之間的匹配，讓學生闡述解決問題的過程使其思維得到外化，只有讓學生的思維過程得到應有的呈現，解決問題的思路才能得到展示，從而提高學生“用數學”解決問題的能力.

３． 選擇合理的思維方法

小學數學教學的根本任務是全面提高學生的素質，其中最主要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強學生的數學觀念，形成良好思維素質的關鍵. 因此在平時的教學中，教師不僅要讓學生通過展示思維來獲得知識，了解結論的來龍去脈，更要讓學生的想象、情感等都參與到學習中來，使學生在充分的探究活動中感受、領悟、理解和掌握“綜合”與“分析”，“抽象”與“概括”，“轉化”與“化歸”等必要的數學思想方法，增強自覺運用數學方法的意識，培養學生勤于思考、勇于提出猜想，并對猜想進行檢驗的學習態度，形成獨立的個人見解如２４連續減去４，減幾次才能減完？有部分學生用減法做１６ － ４ ＝ １２，１２ － ４ ＝ ８，８ － ４ ＝ ４，４ － ４ ＝ ０. 有學生提議：“這樣太麻煩了，可以用學過的除法，這題實際上是求２４里面有幾個４”，“對呀”另一名同學說：“不就是把２４平均分，每份是４，求有幾份？”用減法做的同學恍然大悟，“多簡單呀，一個算式就解決了”. 課堂的教學中無處不隱含著解決問題的途徑，手段和方法. 所以教師在課堂上通過討論、比較、交流等一定的途徑引領學生發現、總結解題方法與解題規律，使學生掌握科學的解題方法. 合理、正確的思維方法能使思維過程自然得以簡縮，解題能力得到提升.

三、解決問題的終點和新起點——問題解決、形成能力

解決問題的教學就是讓學生觀察圖、觀察情境、說圖、說情境、讀題，從中獲取數學信息，提出數學問題，即發現問題、提出問題. 讓學生思考探究、交流已知信息和所要解決的數學問題之間存在的關系，（包括數量關系）明確他們之間的關系，即思考問題、分析問題. 再根據實際問題中獲取的信息與所要解決問題之間的關系發表獨創性見解，本質在于不是被動地接受知識，而是積極地思考，主動地參與到對知識的建構中去，設法從自己的角度出發去創造、重組認知的對象，形成解題技能，建立數學模型，這是解決問題的終點. 問題解答后讓學生對解決問題的整個過程進行反思，建立數學模式為今后的解決問題服務，這是解決問題的新起點. 到達解決問題的終點，確立解決問題新起點的缺不了必要的練習.

１． 加強練習，鞏固認識

兒童對某一數學知識，從認識到掌握，不能僅靠一個“例題”的“剖析”而形成清晰和穩定的認知結構，還需要靠一定量的訓練，只有通過訓練來加深理解、鞏固知識并形成一定的解題的技能技巧. 所以教師們在解決問題教學時，應繼承傳統應用題教學重視數量關系的訓練、重視解題的訓練、重視變式練習和對比練習等寶貴經驗. 常見的數量關系訓練和解題的訓練形式可以是根據條件提問題或根據問題思條件，如（１）棋類興趣小組有５個組，每組４人， ？（２）公園里有２４棵桃樹，平均栽成３行， ？（３）１８名同學做游戲， ，每組有幾人？先讓學生認真讀題，了解題意，再交流解決方法，像第（１）題已知條件里有份數和每份數，那可以補求總數的問題，一共有多少人參加棋類興趣小組？第（３）題的已知條件是總數，問題講的是每份數，那缺少的條件可以補份數，平均分成３組等等.變式的補充練習的訓練題實際是例題的拓展習題，如：上完平均分的內容時可補充一些類似以下的題目：８棵樹要植成４行，每行植３棵可以怎樣植？（用圖形表示）；上完新教材二年級下冊的乘加、乘減時可補充：從學校出發在一條長３５米的馬路一邊插上紅旗，每隔５米插一面，一共要插多少面紅旗？（注意兩頭都要插）要是校門口不插要幾面紅旗？……像這樣的題目經常進行訓練，不但可以使學生熟悉數量之間的關系，而且有助于學生形成“綜合”與“分析”的能力. 要培養學生的分析問題和解決問題的能力，教師們就必須要重視解題的訓練，因為訓練和練習是使學生在遷移中內化知識、形成與鞏固解題技能的重要途徑. 所以老師要精心設計一些“條件開放”、“問題開放”、“策略開放”等等靈活的練習，“條件開放”指適當增加多余的已知條件，造成干擾或者創設條件不充分的題目，要求學生補充合理且能產生多種不同的可能答案. 主要培養學生思維的靈活性、全面性和深刻性；“問題開放”指的是出示多個條件，而且當中的條件彼此都有關聯的，再由學生獨立去組合條件提出不同的問題，這樣既能發揮學生的積極性又能發展其思維；“策略開放”就是在解決問題時，不但注重學生解題策略的多樣化還要重視解題策略的優化，培養學生解決問題的策略意識和優選意識. 使其在有實踐、有思考，且策略多樣化的各種靈活的練習運用中獲得解題的技能.

２． 形成策略，深化認識

“解決問題”教學的目的不僅僅是解決一個或幾個問題的本身，而應該是讓學生通過課堂上的幾個問題解決過程的經歷、探索與體驗來學會解決問題的一些常用的基本策略（數量關系，分析法、綜合法，直覺猜測、數形結合、抽象與概括、變形轉化等等）和方法并且獲得情感上的體驗. 讓學生形成解決問題的一些基本思想和策略，才能適應問題的千變萬化. 如把條件和問題連一連，條件是：有４排教學樓，每排有６間教室；４排教學樓共有２４間教室；有２４間教室，平均每排教學樓有６間. 問題是：有幾排教學樓？一共有幾間教室？平均每排有幾間教室？這樣的題目有部分學生不知從何下手，教師讓會的學生先說說解題方法. 學生說：先要讀懂題目了解題意，再分析題目里的條件告訴我們什么數量，像第二個條件已知份數和總數，那問題應該是求每份數的，所以與平均每排有幾間教室？其余的類似的題目都可以用這樣的方法解決. 這名同學的話音未落，大家就迫不及待的舉手發言，我特意指了一名非智力因素的學困生回答，效果很好，講解得很有條理. 數學源于生活，從生活中提煉出數學思路、數學策略、數學模型，又運用數學去解決生活中新的、難的問題，在解決問題的過程中進一步提煉數學思想方法、提升數學智慧. 通過知識的梳理，方法的提煉，還有情感的交流，使三維教學目標有機地整合為一體，促進了學生全面、持續、和諧的發展. ３． 把握新起點，升華認識

解決問題的新起點不需要學生光會解題，獲得具體問題的解，當一接觸到生活中的實際問題，往往感到無從著手，常常是缺乏信心的“高分低能”，而要的是掌握解決問題的方法，把在解決問題中形成的解題技能以及構成的數學模式能綜合運用到解決新的問題（即具有實踐能力），并在解決新問題中形成另一種新技能也就是要求學生進行創新. 如二年級下冊表內除法（二）中用除法解決簡單的實際問題的例３：唱歌的人數是跳舞的幾倍？學生獨立思考后，交流該怎樣解決這個問題呢？有部分學生爭先恐后的搶答道：“老師這很容易，求唱歌的人數是跳舞的幾倍？唱歌的人數多，３５人看作是總數，跳舞的有７人可以看作是每份７個，就是求３５里面有幾個７. ”這樣就變成了我們以前除法（第二單元）里的解決問題了，用除法解決. ”……學生創造性地運用已有策略去重組新的認識，從而在解題的活動中發展策略和創新能力. 達到較高的數學素養.

解決問題的教學實際就是讓學生經歷從現實生活情境中“抽取”數學的數學化過程，即用數學的眼光，識別存在于日常生活、自然現象等中的數學，并把他們提煉出來，綜合應用所學的知識對其進行分析并加以解決，以及把數學放到現實中加以使用的過程. 不管怎樣解決問題的教學都是以“促進學生的全面發展，提高學生的綜合素質”為出發點，立足于基礎性與發展性的統一，重視優良的經驗，準確地把握解決問題教學策略的實質. 使學生在解決問題的過程中，獨立思考、自主探索、合作交流. 并處理好繼承與創新的關系，在繼承中創新，在創新中發展，實現師生生命在解決問題教學中的真正涌動與成長. 促進學生全面、持續、和諧的發展.