變加速參數(shù)的HSS方法

楊君偉 董建強(qiáng) 李根強(qiáng)

【摘要】本文提出了一種變加速參數(shù)的HSS方法(VPHSS方法)，通過(guò)理論分析證明了算法的收斂性。數(shù)值算例充分說(shuō)明了VPHSS方法的有效性。

【關(guān)鍵詞】HSS方法；變加速參數(shù)；收斂性分析

【基金項(xiàng)目】北方民族大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目基金，2011ZYC037，作者擔(dān)任該項(xiàng)目主持人。

1幣 言

現(xiàn)代科技發(fā)展非常迅速,它們都有一個(gè)共同特點(diǎn),就是都有著大量的數(shù)據(jù)計(jì)算問(wèn)題需要處理。于是,作為科學(xué)和工程計(jì)算的基礎(chǔ),計(jì)算數(shù)學(xué)的地位在當(dāng)今的科技發(fā)展中就顯得尤為突出。而作為計(jì)算數(shù)學(xué)基本課題之一,如何高效求解大型線性代數(shù)方程組已經(jīng)成為許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的核心,很多重要的實(shí)際問(wèn)題可直接或間接地歸結(jié)為求解大型線性代數(shù)方程組。

考慮大型稀疏線性方程組：

Ax=b。

(1。1)

其中,A∈Cn×n是一個(gè)非奇異且正定的矩陣,不必對(duì)稱(chēng),b∈Cn。

求解方程組(1。1)的迭代方法要求對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行有效的分裂,任何一個(gè)n×n非Hermitian矩陣A都可以分解成A=H+S的形式，其中H=12(A+A*)為Hermite矩陣,S=12(A-A*)為反Hermite矩陣。

基于以上分裂形式,在文獻(xiàn)［1］中,我國(guó)學(xué)者白中治等人提出了求解方程組(1。1)的一種有效的迭代方法,即HSS方法。

HSS方法：給定一個(gè)初始向量x(0)∈Cn，對(duì)于k=0,1,2，…直到{x(k)}收斂，計(jì)算：

(αI+H)xk+12=(αI-S)x(k)+b,

(αI+S)x(k+1)=(αI-H)xk+12+b。

其中α是一個(gè)給定的正數(shù)。

關(guān)于HSS方法的收斂性，有如下的定理結(jié)論：

定理1 令A(yù)∈Cn×n是一個(gè)正定矩陣，H=12(A+A*),S=12(A-A*)是它的Hermite部分和反Hermite部分，α是一個(gè)給定的正數(shù)，則HSS迭代方法的迭代矩陣M(α)可以寫(xiě)成：M(α)=(αI+S)-1(αI-H)(αI+H)-1(αI-S)。

它的譜半徑ρ(M(α)）的一個(gè)上界是：

σ(α)≡maxλi∈λ(H)α-λiα+λi<1。

其中，λ(H)是矩陣H的譜集。所以對(duì)笑>0，有ρ(M(α))≤σ(α)<1，即HSS迭代收斂于線性方程組(1。1)的唯一解x*∈Cn。

定理1說(shuō)明了σ(α)只與系數(shù)矩陣A的Hermite部分H的特征值有關(guān),而與A的反Hermite部分S的特征值以及矩陣A,H,S的特征向量無(wú)關(guān)。

2盫PHSS方法

HSS迭代方法是以對(duì)稱(chēng)部分與反對(duì)稱(chēng)部分為主而交替進(jìn)行的兩步迭代方法，與Peaceman和Rachford以及Douglas和Rachford的解偏微分方程的經(jīng)典的ADI交替迭代方法相類(lèi)似。一般地，ADI方法比松弛方法收斂得更快，如果在能夠ADI方法中使用可變加速參數(shù)，將使得迭代方法更加有效。正是基于這樣的思想，我們將可變加速參數(shù)的思想應(yīng)用到HSS方法中，使得每步迭代的加速參數(shù)成為可變的，于是就可以建立變加速參數(shù)的HSS方法，簡(jiǎn)稱(chēng)VPHSS方法。

VPHSS方法：給定一個(gè)初始向量x(0)∈Cn，對(duì)于k=0,1,2,…直到{x(k)}收斂，計(jì)算：

(αk+1I+H)xk+12=(αk+1I-S)x(k)+b,

(αk+1I+S)x(k+1)=(αk+1I-H)xk+12+b。

其中,αk=γmaxγminγmax2k-12k,k=1,2,…，m，對(duì)于αk，采用循環(huán)使用的辦法，即：α1,α2，…，αm;α1,α2,…，αm…。

由于衚∈N*,αk=γmaxγminγmax2k-12k>0，所以由定理1,可得VPHSS方法的收斂性定理：

定理2 令A(yù)∈Cn×n是一個(gè)正定矩陣,H=12(A+A*),S=12(A-A*),是它的Hermite部分和反Hermite部分,γmin,γmax分別是矩陣H的最小和最大的特征值,αk=γmaxγminγmax2k-12k(k=1,2,…,m)是可變加速參數(shù),則VPHSS迭代方法的迭代矩陣M(αk)可以寫(xiě)成：

M(αk)=(αkI+S)-1(αkI-H)(αkI+H)-1(αkI-S)。

它的譜半徑ρ(M(αk)）的一個(gè)上界是：

σ(αk)≡maxλi∈λ(H)αk-λiαk+λi<1。

其中，λ(H)是矩陣H的譜集,所以對(duì)于αk=γmaxγminγmax2k-12k,k=1,2,…，m,有ρ(M(αk))<σ(αk)<1,即VPHSS方法收斂于線性方程組(3。1)的唯一解x*∈Cn。