淡妝濃抹總相宜

張齊華老師在不同的時間、不同的場合，分別執教了蘇教版小學數學第十冊《用數對確定位置》，他兩種不同的教學取向，決定了迥然不同的教學目標設定、截然不同的教學過程與方法，最終學生的所得所獲也不盡相同，但都取得了很好的教學效果，正所謂“欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜”。這里，我要評述的不在于探討張老師教學主張的轉變，而是試圖通過對張老師這兩次不同的教學處理的分析，尋找出對我們當前的小學數學課程與教學改革，以及我們一線教師專業發展的一些有益啟示。下面，就與大家一起來分享我對張老師這兩次執教的碎思斷想。

發展學生的數學認知結構

學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中學生在教師的引導下，把數學知識結構轉化成自己的數學認知結構。教師只有充分把握數學知識自身的結構（主要包括數學知識的來龍去脈、縱橫聯系以及背后的精神、思想和方法等）、教材的編排結構，以及學生已有認知基礎、認知經驗，這樣才能幫助學生在進一步的學習中不斷豐富和發展自己的數學認知結構，實現有意義學習。就蘇教版小學數學第十冊《用數對確定位置》一課而言，在數學知識自身結構上，用有序數對確定物體的位置，是點的坐標的雛形，而坐標的概念則是解析幾何的基本概念，解析幾何不僅是創立微積分的基礎，又與微分幾何、高維空間幾何等有著密切聯系，它們共同構成坐標幾何體系；在教材編配結構上，學生在一、二年級已經學習了“上、下、左、右、前、后”以及“第幾排第幾個”等相關知識，這里是在此基礎上學習“用數對表示物體的位置”，而將來到了初中則要學習通過建立直角坐標系來研究圖形的位置與運動；從學生的認知基礎和認知經驗來看，學生不僅具有上述一、二年級學習的相關書本知識，在日常生活中他們已經具有用數對確定物體的經驗，如確定教室里、電影院里的座位等。

張老師這兩次執教《用數對確定位置》一課，在完善和發展學生的數學認知結構上的有效做法，集中體現在以下幾個方面：

1.充分利用學生原有認知結構中的相關因素

在學習新的數學知識時，學生原有認知結構中相應的舊知識，就是學生建構新的認知結構的固著點。可見，原有認知結構中對新的學習起固定作用的觀點的可利用性，則成了影響學生數學學習的一個特別重要的因素。張老師在這兩次教學中都折射出他對這方面的極其重視。比如，在2007年的教學中的“嘗試探索”環節，張老師明確提出“比如，二年級時我們已經研究過用‘第幾排第幾個來確定位置，還記得嗎？”同樣，在2011年的教學中，張老師新課伊始就問道：“今天這節課，我們一起來研究一個既陌生、又熟悉的問題——用數對確定位置（板書課題）。為什么說這個問題既陌生，又熟悉？”學生答道：“要說熟悉，是因為我們二年級的時候好像學過確定位置的。但那時候好像不是用數對，而是第幾排、第幾個之類的。所以，數對對我們來說又很陌生。”張老師這樣處理正是有效地促進新舊知識之間的相互作用，幫助學生實現原有認知結構的擴充和新的認知結構的構建。

在2007年的教學中，張老師接著提出：“下面的照片中，哪一個才是張老師的兒子呢？大膽猜一猜，并用二年級學過的方法確定他的位置”。在幾個學生看似漫無目標的猜測后，張老師又縮小范圍讓學生繼續猜，接著鎖定目標。2011年的教學中，張老師同樣出示了這樣一張照片（如下圖），也讓學生猜測神秘嘉賓是哪一位。咋一看，張老師這兩次教學中的處理都是在拿學生尋開心，或是在浪費時間。可是，細細推敲，張老師不正是在加強學生對原有認知結構中的舊知識“第幾組第幾個”的認識嗎？而這正是學生學習本課知識的重要依托。

2.凸顯新知識的本質特征

在建構新的認知結構時，學生不僅要能迅速在原有認知結構中找到新知識的固著點，同時還必須能清楚地辨別出新舊知識之間的聯系與區別，由此實現數學知識自身結構向學生認知結構的轉化。

在2011年的教學中，當學生提出：“光這樣猜，很難猜中。你總得給我們提供點線索吧”。于是，張老師告訴學生，除了用“第幾排第幾個”的方式告訴大家以外，還會有這樣一種更簡潔的方法，來確定張老師孩子的位置，接著板書（４，２）。這時，學生的爭論集中在四個目標上（如下圖）。

學生的困惑主要在于“……光說（４，２）是不夠的，也是不準確的（生笑）。因為他們沒有說清楚，這兩個數到底哪一個是橫排，哪一個是豎排。”這時，張老師接著分析：“現在看來，光有這兩個數組成的數對是不夠的，我們還得弄清兩個關鍵問題，一個是順序（板書：順序），也就是哪個數是橫排，哪個數是豎排；另一個是方向（板書：方向），橫排或豎排究竟從哪兒數起。對嗎？”接著，再引導學生認識有序數對的“前一個數表示列，后一個數表示行”等相關知識。張老師這樣處理，強調了本節課學習的新知識是“用數對確定位置”，與二年級學習的用“第幾排第幾個”來確定位置有聯系，也有很大的區別（特別是在表達的準確性、簡潔性上），于是有效地凸顯了新知的本質，幫助學生迅速建立新舊知識的內在聯系。

3.立足當前，著眼未來

為了更好地幫助學生形成良好的數學認知結構，不僅要考察學生原有認知基礎和現有認知水平，也要為將來學生的認知發展作孕伏鋪墊，這也是考量學生認知水平的一個重要指標。

在2011年的教學中，有學生認為：“數學家最終確定了先列后行，一定是有他們的考慮的。”張老師相機引導：“你的直覺很棒！數學上的很多規定，看起來都是人為設制的，好像很隨意。但有些的確是有它的道理的。至于數對中為何要先列后行，到了中學，研究了平面幾何以后，大家可能會對這一問題有更深入的思考。”接著，有學生指出“…我覺得有可能需要三個數，因為我們生活的是三維空間。（此語一出，全場愕然！）三維空間，當然需要三個數。”甚至在研究魔方時，有學生認為：“魔方一共有好幾層，先要確定它在第幾層，然后再確定它在第幾列、第幾行，這樣正好需要3個數。”又有學生補充說：“但是，我們覺得4個數就不可能了。”還有學生認為：“我覺得可能，還可以加上時間啊！”這里，學生的交流互動，無疑將對部分學生將來的數學學習產生不同程度的影響。

著名認知心理學家奧蘇伯爾提出了三個主要的影響有意義學習和遷移的認知結構變量，即原有認知結構中觀念的可利用性、新舊認知結構中觀念的可辨別性和原有認知結構中觀念的穩定性與清晰性，在張老師這兩次教學中，都很好地得到了體現。

利用人類一切有效的學習方式

學生的數學學習活動是全面的、豐富的，也是多種形式并用的，觀察學習、替代經驗學習、體驗學習、探究學習、發現學習與接受學習，甚至包括模仿與記憶等等，都各有長短。要幫助學生在盡可能短的時間內為終身發展打下基礎，就不能拒絕人類一切有效的學習方式。

在2007年的教學中，張老師將“教學目標”預設為“1．在二年級‘第幾排第幾個的基礎上，自主建構‘用數對確定位置的方法，體會它的準確性、簡潔性；2．感受數學發現的樂趣，體驗數學創造的價值。”也就奠定了自主探索、合作交流等學習方式是這節課學生學習的重要方式。同時，從“教學過程”的主要環節來看，學生經歷了猜測、推理、驗證、運用等數學活動過程。特別是在張老師板書出學生7種典型確定位置的方法后，師生、生生互動交流建構新的認知時，學生的數學學習活動更是突出體現在以上幾個方面。

在2011年的教學中，張老師將“教學目標”預設為“1．在具體情境中，體會‘用數對確定位置規則的合理性，會根據相應規則，用數對確定平面內物體或點的位置；2．感受數學思維、數學方法的嚴謹與美。”再考察這一教學的主要環節，張老師在直接板書出“（4，2）”這一有序數對后，學生是個“接受學習”的過程，接下來的學習中，學生在教師的引導下，在認真思考、主動探索、互動交流中，將這一新知與原有認知結構形成了“非人為”的“本質”的聯系，進而給通過言語講解的“接受學習”賦予了“意義”，實現了運用多種學習方式達到學習的高效。

目前，《義務教育數學課程標準（2011年版）》已經頒布，該《課標》對學生的學習方式、師生關系等涉及的課程基本理念已有所調整，我們一線教師在認真學習、實踐的同時，要作出理性的思考，“讓學生在通過有限知識的學習過程中，掌握探索無限世界之本領”是我們仰望的那片“星空”，是我們追求的目標。張老師兩次不同的教學，在學生學習方式的選擇方面有明顯差異，我要表達的不是要分一分兩種處理孰優孰劣，但“尊重知識、尊重兒童、審視課標、審視教材”應該作為我們作出正確判斷的出發點和落腳點。

簡言之，我們不僅要倡導學習方式的多樣化，更要根據學習內容和學生的情況選擇合適的學習方式，以獲得最佳的學習效果。

數學“四基”協調發展

“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”是當前數學課程的總目標之一。因此，學生“四基”的獲得是數學學習的重要任務之一。張老師兩次執教中對于“基礎知識”和“基本技能”的關注與落實情況，前面已經評述，這里著重分析張老師如何幫助學生感受數學的“基本思想”、獲得數學的“基本活動經驗”。

1.感受數學的基本思想

數學知識和數學思想是數學教學的兩條主線。數學知識是一條明線，它被明明白白地寫在教材里；而數學思想則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉，并在教學中凸顯。數學思想相比數學知識，具有更高的概括性和包容性，所以數學思想對學生的數學學習品質，以及學生的成長和發展具有更重要的影響，它應成為數學教育的重要內容。張老師在這兩次執教中，都先后把要確定位置的對象從照片上的按行列排列的某一個人（如下圖），轉化為點陣中的某一個點（如下頁圖），這樣的處理使學生初步感受了“數學抽象”的思想，也為學生將來平面直角坐標系概念的建立打下必要基礎。

在2011年的教學中，當學生面對（４，２）這個數對，對這兩個數到底哪一個是橫排，哪一個是豎排疑惑不解時，張老師透露：“我孩子最要好的朋友小鄧，他所在的位置如果也用這樣的數對來表示的話，應該是（2，1）……”同時出示左下圖：

于是，學生很快明確了數對（４，２）所確定的位置。這樣的處理，使學生初步感受了“數學推理”的思想。

２.獲得數學的基本活動經驗

數學活動的教育意義，是讓學生在親身經歷數學活動的過程中，能獲得具有個體特征的情感體驗、感性認識以及數學能力和數學素養。讓學生獲得“數學活動經驗”,就是培養學生在活動中從數學的視角進行思考，直觀地、合理地獲得一些結果，這是數學創造的根本。

在2007年的教學中，張老師引導學生“嘗試探索”獲得7種典型確定位置的方法后，師生、生生互動交流建構新的認知時，學生經歷了猜測、推理、驗證、運用等數學活動過程，獲得了數學思考的活動經驗。

在2011年的教學中，在“質疑，拓展思維空間”的教學環節，學生列舉出：教室的座位；地球儀上的經線和緯線；圍棋、中國象棋或者國際象棋上類似的數字；電影院的座位；航班上的座位；魔方等多種生活中的相關數學活動經驗。這些數學活動經驗大多不是課堂現場獲得的，一般稱為延時反思的數學活動經驗。

張老師的這兩次執教，使我們感受到“四基”不是四個事物簡單的累加、混合，它們相輔相成，相互促進：數學基礎知識和基本技能是重要的教學內容，是數學教學活動的有效載體；數學基本思想是數學教學活動的靈魂；數學基本活動經驗是數學教學活動中不可或缺的重要形式，它們統一于、服務于學生有效的數學學習活動。

張老師對于同一教學內容，給我們呈現了兩種不同的教學風景，這種常教常新的做法值得提倡，他給我們展現了一線教師專業發展的一條有效的、可行的、獨具優勢的路徑。同時，也使我們更加深刻地認識到，一線教師雖不是思想家，但要做個思想者；不能僅僅做個實踐者，要成為實踐家。

（湯雪峰，揚州市廣陵區教育局教研室，225000）