高中數學合情推理教學思考

束艷 潘歆

【摘要】合情推理是新課改后數學教材中新增的重要內容，本文分別從情境創設、教學過程、應用三個方面對高中數學合情推理的教學進行了深入思考，認為情境創設應從數學和生活同時入手，教學過程應遵循數學方法的教學原理，最終目的在于應用。

【關鍵詞】合情推理；情境創設；數學方法；應用

【基金項目】江蘇師范大學研究生科研創新計劃一般項目

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（G.Polya）最先提出了“合情推理”，合情推理能夠再現數學創造和數學學習的具體思維過程，是具有創造性的推理方法。從此，推理在生活中的其他各個領域都有廣泛的應用，在數學中的應用更為突出。數學教育工作者雖對推理的重要性早已有深刻認識，但是并沒有在數學教材以及教學中得到具體體現。新一輪課程改革之后，各種版本的數學高中教材都新增了推理這一重要內容，有合情推理和演繹推理。合情推理與演繹推理是數學發現過程和數學體系建構過程中的兩種重要思維方式，學習合情推理與演繹推理對培養學生的數學思維能力具有重要價值。因此，高中數學中合情推理與演繹推理的教學理應成為數學教育工作者研究與思考的重要課題之一。

高中數學新課程標準中對合情推理與演繹推理給出了明確區分，合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程；而演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。由此可見，在解決實際問題的過程中，合情推理更有利于培養學生的創新意識，因此本文主要談論高中數學“合情推理”的教學。新課標明確要求將“培養學生合情推理能力”作為高中數學教學的重要目標，可見新課程改革已經將“合情推理”置于了如此重要的地位。但是，高中一線數學教師對此卻很畏懼，因為無論在理論上還是在實踐方面他們都缺乏經驗。根據新課程標準的要求，我們從以下幾個方面來對“合情推理”教學進行深入思考。

1.合情推理來源于生活，情境創設應從數學和生活同時入手

合情推理來源于生活，但是，并不是生活中所有的例子都適合拿來創設“合情推理”的教學情境。我們來看一個例子：一位教師在校外借班進行“合情推理（第一課時）”教學時，是這樣進行情境導入的。上課開始展示圖片：神探狄仁杰探案、考古發掘、醫生診斷病人、衛星云圖，同時做簡單的解說，并提出問題。此課堂中呈現出來的情境都來自于生活，并且看似很陌生，學生對這里提出的生活情境不一定都有所認識。生活情境要能夠激發學生的學習興趣，同時也要能夠讓學生獲得感性上的認識。

新課標在“合情推理”教學方面建議：要注意從學生已學過的數學實例和生活中的實例出發，喚起學生的經驗，找到知識的生長點。由此可見，“合情推理”情境創設應從數學和生活實例入手。合情推理的例子在數學中到處可見，因此，學生學過的數學實例并不難尋找。但是，教師在進行“合情推理”教學時不能隨便拿一個數學實例就進行情境創設，這需要教師在平時的教學中多積累、多發現有價值的數學實例。“合情推理”情境創設應該是數學實例和生活實例同時進行，生活實例雖然也容易尋找，但是，生活實例不宜過于復雜，應是學生熟悉的。例如，“由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想一切金屬都能導電”可用來作為生活實例，這一物理知識是學生熟知的，用來創設情境可加強數學與其他學科之間的聯系，讓學生認識到數學中的“合情推理”處處存在。

“問題情境的創設事實上涉及了三種不同的內容：情境內容、學生經驗內容、數學內容。”因此，“合情推理”教學的情境創設應當考慮學生的學習和生活經驗，教學設計要具體情況具體分析，這對任課教師在校外借班上課是一個極大的挑戰。“合情推理”情境創設也要注意孔子提出的“因材施教”。

2.合情推理是基本的數學方法，教學過程應遵循數學方法的教學原理

數學科學的現代發展表明，“數學不應簡單地被等同于數學知識的匯集，而應被看成是由理論、方法、問題和符號語言等多種成分所組成的一個復合體。”這表明方法是數學活動的重要組成成分，是學生數學學習的重要內容，因此，數學教學離不開數學方法的教學。眾所周知，過去的高中數學甚至整個中學階段的數學都沒有對數學方法進行系統的介紹，新教材增加“合情推理”這一基本的數學方法，可見其重要性非同尋常。《合情推理教學模式簡介》一文中認為，教師在進行“合情推理”教學時可參考以下基本操作模式：

但是，實際操作過程中要靈活轉變，教學并沒有固定的模式。

教材中不對數學方法進行系統介紹，是因為數學方法多種多樣，其教學更難以整體把握。因此，數學方法都是通過日常的數學學習進行滲透的。那么，“合情推理”教學理應當點點滴滴地滲透給學生，而不是教師直接告之學生。數學乃至其他學科中能夠用合情推理來解決的問題數不勝數，教師不可能把所有能夠用合情推理來解決的問題告訴學生。因此，這就需要教師在平時的日常教學中積累豐富的案例，仔細推敲、比較案例之間的區別與聯系，借助最經典的案例將“合情推理”這一數學方法滲透給學生。同時，教師要引導學生從整體上認識“合情推理”，勤反思，多總結，最好能夠舉一反三，這樣才有利于學生對“合情推理”進行內化。

由以上的分析可以發現，“合情推理”是一種重要的數學方法，其教學應該遵循數學方法的教學原理。新課程改革以前，數學方法的教學都是通過平時的教學點點滴滴滲透給學生的，新課改新增“合情推理”這一重要數學方法，只是給教師將平時積累的數學方法集中呈現出來的一個機會，上好“合情推理”一課不容易，對教師更是一個挑戰。

3.合情推理教學在于應用

學習數學方法的最終目的是用方法來解決問題，因此，學生學習了“合情推理”之后，要善于將其用來解決問題。如何才能更好地將“合情推理”賦之運用呢？新課標中指出：在教學中不僅要重視對方法的特點進行靜態分析，更要重視方法被抽象出來的過程，通過對數學活動過程的分析來認識它們的特點和作用（即對它們做動態的考察）。這表明，教師在對“合情推理”進行應用時，要注意動靜結合，結果是靜止不變的，也是無法改變的，而過程的動態呈現就需要充分發揮教師和學生的智慧。

《普通高中課程標準實驗教科書·選修1-2·數學》中有一道有關正整數平方和公式的推導案例賞析，案例中給出了兩種詳細的推導思路，分別是歸納的思路和演繹的思路。教師如何向學生呈現動態的推導過程？筆者認為，第一，教師要明確，歸納和演繹是兩種完全不同的思考方式，歸納屬于合情推理，演繹即演繹推理，動態過程有明顯區別。第二，運用合情推理解決的最常見的數學問題是數列，這要求教師對數字比較敏感，善于將公式進行變形，尋找規律。這一過程不能完全由教師自導自演，學生是學習的主體，教師應充分發揮主導作用，動態過程由此得到體現。第三，教師在進行教學時要留給學生充分的思考和回顧時間，讓整個動態過程留在學生腦海中回味，這樣才能快速地得出靜態的結果，并且有利于學生掌握合情推理，在以后的學習中更好地運用合情推理解決更多的問題。

總之，教師在進行“合情推理”教學時，要將推理的動態過程展示給學生。另外，運用“合情推理”解決問題的方法不是統一的，教師要讓學生思考、反思推理過程的特點，在變化多端的動態問題中尋找不變，這也是動靜結合的一種體現。

【參考文獻】

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