一道國際數學奧林匹克題的簡證

武慧玲

1988年第二十九屆國際數學奧林匹克第6題，在相關數學專著和網上都有證明，但過程較繁或沒有構造性結論。本文參考已有證法，給出一個既簡潔又有構造性結論的證明，同時給出了三個推論命題，由這三個命題我們很容易得到此奧數題的各種特例。

1988年第二十九屆國際數學奧林匹克第6題，是一個非常有意思的題目。雖然這道題已過去很長時間，但仍有許多人在議論這道題。縱觀這道題的各種證明，目前為止比較好的有兩種，皆由《初等數論》（作者：潘承洞、潘承彪，北京大學出版社）給出。但一種證明沒有給出構造性結論，另一種證明較繁。本文參考《初等數論》，給出一個更加簡單明了的證明。

題目：正整數a與b使得ab+1整除a2+b2，求證：是某個正整數的平方。（1988年第二十九屆國際數學奧林匹克第6題）

證明：根據a、b在命題中的對稱性，不妨設a≥b。令=k（k為正整數）。考慮關于x的一元二次方程：x2-kbx+b2- k =0 ……（1）

依題意，a為方程（1）的一個正整數解。設方程（1）的另一個解為a1,則由韋達定理有：a+a1=kb………………………………（2）aa1=b2-k ………………………………（3）

由方程（2）知a1為整數，并且（a,b）=（b,a1）。又由于b是正整數，所以a1≥0（否則a12+b2=k（a1b+1）≤0）。

由方程（3）知：a1=≤

若a是b的倍數，則由方程（2）可知，b|a1，結合b>a1≥0進而可知a1＝0。將a1＝0代入方程（3）和方程（2）得，k=b2,a=b3。這就是說，在題目的條件下，且a是b的倍數時，命題一定成立，而且有a=b3，k＝b2=（a,b）2。

若a不是b的倍數，則由方程（2）知a1>0。于是有：＝＝k，并且a>b>a1>0，（a,b）=（b,a1） 。

同理可證，若b是a1的倍數，則k= a12=（b,a1）2=（a,b）2；若b不是a1的倍數，則存在正整數a2，使得：＝＝=k，并且a>b>a1>a2>0，（a,b）=（b,a1）＝（a1,a2）。依此類推，最后一定有兩個正整數an+1與an，滿足：an+1是an的倍數，k=an2=（a,b）2。這就是說，在題目的條件下，且a不是b的倍數時，命題也成立，而且k=（a,b）2。

綜上所述，若正整數a與b使得ab+1整除a2+b2，則一定有＝（a,b）2。

上述證明不僅簡潔，同時給出了構造性的結論，而且由上面的證明過程，我們還可以得到以下三個命題。命題一：若正整數a與b使得ab+1整除a2+b2，且a是b的倍數，則一定有a=b3,=b2。命題二：若a=b3，b為正整數，則ab+1一定能整除a2+b2，并且=b2。命題三：若a、b、m為正整數，＝m2，則＝m2.

用以上命題，很容易得到此奧數題的各種特例。

（鹽城紡織職業技術學院）