極限與連續的數學問題 及技校極限與連續數學概念分層教學

馮軍

引 言

目前，大多數技校學生的數學基礎較差，學習數學的興趣與積極性不高，甚至出現厭學現象.如果技校的數學教學不改變方法，仍然采用“千人一面、千篇一律”的教學方式，就會使得學生更加害怕數學學習，導致技校教師難以完成數學教學任務.因此，數學教學中亟需新的合理的教學方法.采用分層教學法能夠根據學生的特點與基礎水平，做到因材施教.本文分析了極限與連續中的“3x+1問題”，對分層教學在極限與連續教學中的運用方法進行探究.

1.極限與連續概述

極限概念是高等數學的理論基礎，函數在某一點處的極限概念、函數在某一點處的可導概念、導數的幾何意義、函數的連續性概念以及右連續、左連續等均是數學中極限與連續所涉及的基本概念.極限的推導與求法有很多，通常使用的五種求極限的方法是：（1）采用極限四則運算法求極限；（2）采用等價無窮小量求極限；（3）采用無窮小量的性質求極限；（4）采用羅比達法則求極限；（5）采用兩個重要極限求極限.

2.“3x+1問題”和量的極限性

數學中的“3x+1問題”又稱之為西拉古斯猜想，是在上世紀中期被提出來的，角谷靜夫將其引入日本后被稱之為角谷猜想，在學術上還有其他的名稱，例如哈斯算法問題、烏拉姆問題、克拉玆問題等.任取一個正整數后，如果是奇數，就乘以三再加一；如果是偶數，就把它除以二，這種變換就是“3x+1問題”.經過這種法則變換可以取得一個新的正整數，反復進行法則變換可以取得一個新的正整數列，或遲或早該正整數列將會歸為4→2→1的循環中，最終得到1.同余邏輯路徑法證明了此猜想能夠成立.“3x+1問題”的運算法則蘊含著事物量關系的可分性與衍生性，揭示出無限可展的世界是按照邏輯路徑展開的.“3x+1問題”蘊含著中國古代哲學中的“九九歸一”“萬變不離其宗”等思想.事物不是無限可分的，而是有限可分的，回歸與衍生是對立統一的路徑，模糊性發生在一定的邊界極限，事物從粒性轉變為波動性，有著存在卻不確定的性質，例如，無窮連分數可以認識卻無法操作.在實用領域往往將不確定性看成確定性，即將極限當有限，例如微積分就是常將無窮小作為0來進行處理.

3.技校數學極限與連續概念分層教學

在實際的技校教學中，講授極限與連續概念時可采用分層次教學法，做到因材施教，以不同層次學生的認知水平差異為依據來確定不同的教學目標，進行分層施教與測試評價.并且在教學中注重建立一套促使各層次學生不斷遞進的機制，從而充分地開發學生潛能.極限與連續概念分層教學應當把握好以下幾個環節.第一，客觀地劃分學生的學習認知水平層次，可以采用開座談會或個別談話等方式對學生的學習水平進行全面摸底，并結合學習成績將學生分為獳，B，C三個層次.獳層和B層的學生基礎知識相對比較扎實，通常能夠從學過的知識中找到與新概念相關的聯系，并能夠比較出兩者之間的不同，進而建立新的概念體系.獵層的學生對新概念的有關知識的理解不夠全面、透徹，常常受錯誤經驗的干擾而產生錯誤的概念理解.第二，分層教學的實施，為了更好地把握極限與連續的概念，可以將概念教學分為概念領會、概念運用、概念構建步驟進行.

(1)極限與連續概念的領會

在概念領會階段，可以設置以下幾個問題：函數在某一點處的極限概念，函數在某一點處的可導概念，導數的幾何意義，函數的連續性概念以及右連續、左連續，可導與連續的關系等.這一階段的內容一般比較直觀，設計的問題和提供的資料均不會太復雜，除了處于獵層的個別同學在理解上出現些問題外，其余同學全部能夠掌握這部分內容，通過對問題的思考進而掌握極限與連續概念的本質.

（2）極限與連續概念的運用

在概念運用階段，教學應當以不同層次學生的概念領會程度為基礎，培養學生的類化能力.在實際的教學中可以設置如下不同層次的問題：

①已知f(x)=x2玸in1[]x,x<0,

1-玞os玿,x>0,

求﹍im玿→0f(x).

這道題目是分段函數在分段點求極限的問題，因為函數在分段點兩側有不同的表達式，所以需要考慮左、右極限.

②研究函數f(x)=1-1[]玡瑇[]1+1[]玡瑇,x≠0,

1,x=0

在x=0處的連續性.

這道題目是指數函數求極限的問題，指數函數在x=0時等于1，所以考慮x≠0時的極限問題.在實際教學中應當以極限與連續的概念領會為基礎，增強學生的類化能力.因為不同認知水平的同學的類化能力有著較大的差異，所以應當設計不同的題目與問題對不同層次的學生進行不同的教學指導與要求.

（3）極限與連續的概念體系構建

在概念體系的構建階段，可以設置以下問題：怎樣理解極限的概念，及其在微分學研究中的作用；怎樣理解函數極限與單側極限的概念；怎樣利用函數的連續性判別與分類函數的間斷點；怎樣理解函數的三類間斷點等.極限與連續的概念體系構建是此部分教學中的最高層次，要求同學具有將自身已有的認知結構中的有關概念與新概念建立聯結的能力.

4.結束語

綜上所述，極限與連續問題中的西拉古斯猜想是成立的，其蘊含的哲理為：世界是無限可展的、有界無限的，不是無限可分的而是有限可分的.在技校的極限與連續的實際教學中，教師應當深刻理解極限與連續問題的內涵，并運用分層教學法引導學生更好地掌握與運用極限與連續的相關概念，鼓勵學生努力向高層次發展.