概率統計中的典型問題分析

郭祥標

概率有其廣泛的社會生活背景,在現代社會生活的各個領域中有廣泛應用,概率及其思想方法已經滲透到各個領域.近年來,概率及其思想方法已經作為中學數學中新增的內容,也是中學數學中的重要內容,是高考的熱點之一,并且在今后的高考及數學競賽中其體現的力度必將加大.筆者根據長期教學實踐中的體會,就概率中的典型例題與概率中容易出現的問題作粗淺分析.

一、頻率與概率的關系

頻率是在n次試驗中，事件A發生的次數m占總次數n的比率m[]n，它是一個隨著試驗的不同時、不同次而表現出來的往往是不同的頻率值；概率是在大量的重復試驗中，事件A發生的頻率所表現出來的規律性，它是事物固有的、客觀的、本質的東西.頻率是概率的表現形式，概率是頻率的本質反映，二者關系密切，但不能混同.

例1 一次試驗中所有可能出現的結果有n個,而且所有結果出現的可能性相等,那么計算兩次試驗某結果出現的頻率與概率的所有可能值.

解 ①若某結果出現0次,其頻率=0[]n=0,其概率

②若某結果出現1次,其頻率=1[]2,其概率

二、等可能與非等可能的區別

在概率問題中，最典型最基本的概率模型，就是古典概型，古典概型的特征有兩點：①試驗結果的有限性；②每一結果的等可能性.但往往在許多試驗中把非等可能誤認為等可能而導致錯誤.

例2 上下樓梯的問題：某人要上10級臺階，每步可上一級或兩級，求此人7步上完的概率.

分析 10級臺階，若每步上一級，則要１０步，若每步上兩級，則要５步，于是上完10級臺階可能需要５，６，７，８，９，１０步６種情況，則此人7步上完的概率是１[]６，這樣就把上述６種可能情況看成了等可能性，從而導致錯誤.

解 若１０步上完只有一種方法，若９步上完必有１步要上兩級，共有獵19種方法；若８步上完必有２步要上兩級┯小…所以走完10級中出現k次兩級分類k=1,2,…,6,注意6類的非等可能性,則此人7步上完的概率是

再如拋擲兩骰子的點數和等也容易把和的各種可能結果的非等可能誤認為等可能.

三、互斥事件與獨立事件混淆

例3 對于事件Ａ，Ｂ，下列命題正確的是().

獳.如果Ａ，Ｂ互斥，則〢，〣也互斥

獴.如果Ａ，Ｂ不互斥，則〢，〣也不互斥

獵.如果Ａ，Ｂ互斥，且P(A)，P(B)均大于0，則Ａ，Ｂ相互獨立

獶.如果Ａ，Ｂ相互獨立，則〢，〣也相互獨立

分析 若A，B互斥，則〢，〣不一定互斥，用文氏圖表示很容易判斷，①A∪B是基本事件全集Ω的真子集時命題假，A∪B=Ω時命題真，即：若A，B互斥，則〢，〣不一定互斥；②若A∪B是Ω的真子集時命題真，A∪B=Ω命題假；③若A，B互斥，且P(A)，P(B)均大于0，由P(A+B)=㏄(A)+狿(B)-P(AB)得P(AB)=0,而Ａ,Ｂ相互獨立，則㏄(AB)=狿(A)P(B)＞0，二者矛盾；④只有當Ａ，Ｂ相互獨立時，才能推出〢，〣也相互獨立.故選獶.

由以上分析知，在一般情況下，互斥與相互獨立是互不等價、完全不同的兩個概念，對A，B互斥與獨立和〢，〣的互斥與獨立關系的理解是概率計算中對復雜事件運算的關鍵,非常重要，千萬不能混同.

四、有放回取與不放回取的混同

例4 設N件產品中有m件次品,現從中抽取n(n≤N)次,每次取一件,若采用有放回取與不放回取兩種方式抽取,求恰有k件次品的概率各是多少.

分析 若采用有放回取的方式，因為每次抽取后又放回，再抽取時題設條件沒有改變，所以各次的抽取結果是相互獨立的，且每次抽取為次品的概率都為m[]N，因此n次中恰有k件次品的概率屬于n次獨立重復試驗.

所以P=P璶（k）=獵琸璶m[]N琸1-m[]N﹏-k.

若采用不放回取的方式，即每次取后不放回，這種取法等同于一次性隨機抽取n件，且每件產品被抽到的可能性相等，則恰有k件次品的概率是

P=獵琸璵獵﹏-k㎞-m猍]獵琻璑.

從以上分析知，有放回取與不放回取是兩種截然不同的抽取方式，它們的概率值不同，二者不能混同.

本文對概率中的幾類典型問題進行了認真分析，給出了各類問題的分析和解題方法，也提醒大家在這幾類典型問題中容易混淆的概念如何分析，最終尋求正確的途徑解決這些問題.