數形結合在數學分析教學中的應用

李瑞峰 許永鑫

【摘要】文章指出在數學分析的教學中，引導學生結合概念、定理的幾何意義去理解記憶，啟發學生根據題目已知條件的幾何意義，使用數量與圖形結合的方法來解題，將會使一些抽象、復雜的數學問題變得形象直觀.

【關鍵詞】數學分析；數形結合；概念；定理；解題オ

數學分析是數學專業的重要基礎課程，但由于其內容的高度抽象性和嚴密的邏輯性以及獨特的“公式語言”，使得初學者的學習習慣和思維方式很難迅速適應，從而成為數學專業學生學習的一道難關.但是如果教師巧用數形結合的方法對某些概念、定理或題目進行分析，便可以使抽象、復雜的數學問題變得形象直觀，在解題中能夠化繁為簡，學生可找到解題思路，進而解決數學問題.

下面就數形結合在數學分析教學中的應用談幾點體會：

一、利用數形結合可深化對概念本質的理解

數學分析中的許多概念都是用抽象的數學語言給予形式化的精確描述，由于這種描述高度抽象，學生們很難理解它的含意，往往是不加理解地死記硬背.但數學概念的產生和發展都來源于對實踐的感性認識，如果教師在教學中能借助直觀的幾何圖形來引導和啟發學生觀察、分析，再由具體逐步過渡到抽象，將有助于學生理解抽象的概念，進而理解數學知識的內涵和外延，應用起來也就得心應手.

案例一 導數概念的教學

導數的概念很抽象，也很難懂.通過對引例的介紹，一方面能使我們比較容易地去理解和記憶導數的概念，看到導數的一個幾何原型，使導數概念直觀化；另一方面也能使我們感受到導數概念中所蘊含的數學思想方法，看到導數概念的來龍去脈；同時，曲線的切線斜率作為導數的幾何意義，能使我們對導數的一些性質、定理有更好的理解.

數學分析中還有許多概念都有一定的幾何意義，如函數的連續、微分、定積分、二重積分等概念，深刻理解這些概念的幾何意義，能使學生對這些概念理解更深刻，能更靈活運用概念分析問題，解決問題.而且教師在傳授知識的同時影響學生的數學思想，使學生學會抽象與概括的科學思維方法，提高學生的分析與解決問題的能力.

二、利用數形結合有助于理解某些定理

數學分析中的許多定理，看上去很神秘，令人望而生畏.但若通過對定理的幾何意義的理解，就會覺得定理的結論是順理成章的，對定理的理解就比較深刻，進而找到定理的證明思路.

案例二 拉格朗日中值定理的幾何解釋

拉格朗日中值定理：若函數f（x）滿足條件

（1）在閉區間［a，b］上連續；

（2）在開區間（a，b）上可導，

則在區間（a，b）內至少存在一點x0，

使得f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0或f（b）-ゝ（a）＝f′（x0）（b-a）.

幾何解釋：f（x）在閉區間［a，b］連續，表明曲線y=f（x）在［a，b］上是一條連續不間斷的曲線；f(x)在開區間(a，b)可導，表明曲線y=f（x）在(a，b)內是光滑的，在(a，b)內每一點都存在切線.

在上述條件下，在(a，b)內就至少可以找到一點x0，使f′（x0）-f(b)-f(a)[]b-a＝0，也就是在曲線y=f（x）上至少有一點(x0，f（x0）)，該曲線在這點的切線平行于曲線兩端點的連線.

拉格朗日中值定理中函數的圖像オ

在教學中，把滿足定理條件的函數圖像畫出來，結論是很明顯的.這樣使學生很容易就能把握定理所表達的內涵的來龍去脈，從而使學習變得輕松愉快.

借助于幾何直觀性來闡明定理的內容，將形象思維與抽象思維相結合，對學生的思維有沖擊，用這樣一種直觀有效的、簡化易懂的方法，找到了問題的結論，學生耳目一新.這比教師苦口婆心幫助學生分析定理的條件結論更有學習數學分析價值.

三、數學分析解題中利用數形結合的思想方法

數學分析中有些問題，如果僅局限于數的方面考慮，過程繁瑣.但如果能弄清楚問題中條件和結論的幾何意義，使用數量與圖形結合的方法來教學生解題，學生就會對問題有一個清楚的認識，從而找到解題思路，便可提高解題效率.

在數學分析教學中，教師要善于引導學生根據條件結論畫出相應的幾何圖形，根據題目特點發現規律，借助幾何圖形的直觀性來分析有關問題，巧妙應用數形結合求解，將有利于教師啟迪學生思維，引導學生理解題意，找到解題方法，達到化繁為簡地解決問題的目的.

通過把問題的數量關系和空間形式有機結合，使學生的思維完成從“抽象”到“形象”的概括，再根據解決問題的需要，給“數”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，從“抽象”到“形象”的再現.給“形”的問題以數的度量，分析數據之間的關系，更能從本質上認識“形”的幾何屬性.從而達到解題的目的.數學思想方法既是數學的基礎知識，是知識的精髓，又是將知識轉化為能力的橋梁.因此數學分析教師在教學中要注重數學思想方法的滲透、概括和總結，要重視數學思想方法在解題中的應用.