探究核心概念 實現有效教學

宋興富

數學教學就是數學概念的教學，因為我們知道數學概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式，是思維的基本單位或者說是思維的細胞.提高數學教學的有效性在很大程度上就是提高數學概念課的教學的有效性.因此有效性教學成為了數學概念教學的重心.中學數學的核心概念（中學數學概念的主要的中心的部分）就是重中之重，概念教學和學習，首先就要認真研究數學核心概念，思考其教學對策和措施，作為教師就要充分理解核心概念的本質以及在中學數學中的地位和作用.

首先，簡單的表述一下核心概念的作用.核心概念必須具有基礎性（即在相應領域具有的基礎的地位）、聯系性（即有利于形成概念的網絡系統，聯系通暢，便于記憶與檢查）、遷移性（即具有自我生長的活力，容易在新的情境中引發新思想和新方法），所以可以說它是數學鄰近分支的“靈魂”“棧道”“導火索”.其次，高中數學中的核心概念首當其沖的無疑是函數的概念.本文就是要談談通過教學實踐，實現有效教學的做法和體會.

一、函數概念的形成

第一個階段是由具體的現實或科學問題中簡單抽象出來的，從最初人們注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，到約翰?貝努利的“由任一變量和常數的任一形式所構成的量”，強調了函數要用公式來表示，再到歐拉“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數”，再次發展到柯西“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫作函數”，其間經歷了多次表述上的演變，成為1930年新的現代函數定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x).元素x稱為自變元，元素y稱為因變元”.從初中到高中的教材中可以看到一些函數概念發展的歷史痕跡（只是表現了兩個有代表性的形式），但作為高中數學教師，應該深刻理解這一發展歷程，我們知道概念的形成過程決定著它的教學過程，所以，我們必須理解這一過程，并能從中得出這一概念的教學設計.

二、學生對函數概念的理解

高中學生對函數概念的理解基礎是，一個數量隨著另一個數量變化而變化（或不變），即有一個數量叫作自變量，它的變化引起另一個叫作函數值的數量單值變化（或不變），構成這一變與不變的整體.但是，對于高中要研究的定義域和值域并沒有上升為概念，只是知道自變量取一個范圍得到函數值的一個范圍.初中數學認識行為一直發生在數量的、靜態的層次上，而高中要達到：“一個數集（非空）與另一個數集（非空）之間，存在一種對應關系（當然是指兩集合元素），對于前者的每一個元素，在后者中都能找到唯一的元素與之對應，兩個集合及對應關系構成一個整體”，乃至“函數是兩個數集之間的一種特殊關系，這個關系滿足前者的任意一個元素都與后者中唯一元素對應”這一水平，這就是要實現一次從具體到抽象的飛躍，若省略其中的發展過程，學生就不會真正理解的，以前流行的教學過程是，給出定義、分析定義，給出定義的注意事項、練習，這一過程就會有如章建躍所說“在不適當的時候、用不適當的方法強調細節，把學生‘教糊涂了”的后果.縱觀函數概念發展歷程，這兩種定義之間要經歷一個從感性認識到理性認識的過程，即要通過學生易于理解和掌握的實例架設認識、理解的橋梁.

三、實施教學

首先，引入具體函數關系.例如，（1）數學課本的價格是7.75元/本，買x本所需錢y元；（2）某人騎自行車的速度為7.75米/秒，騎行x秒的距離y米.列出x,y的關系式，并考慮兩者的異同.對于這兩個函數關系，學生很容易理解，而且基本上能夠順利完成.可能有的教師會認為，這樣的問題沒有意思，不能大幅提升學生對概念的理解，但是，要注意這確是理解概念的必由之路，這個思維過程就是要讓學生“自動地”向理解高度邁進.當然，這組例子只是說明相同的表達式未必是相同的函數，引入類似的例子是幫助學生以具體的函數為背景，逐漸認識函數的要素之一，我們還可以繼續研究下去，比如，此二函數自變量范圍不同，是怎樣影響函數取值范圍不同的？在將來研究函數圖像時，仍可以此為例討論其圖像的異同等.以上這個過程可以稱之為辨別不同的刺激模式.

在課堂教學中，我們不要怕在建立、認識概念的環節上“費”時間，從長遠的角度看，這是值得的甚至是必要的！實踐中，筆者就是在此多花些時間，讓學生“自行”認識函數概念，并在恰當時機讓學生自己總結所得，知道學生完成類似“已知函數y=x2的值域是［0,1］，是寫出其一個定義域”的問題，結果讓相鄰的學生互相對比發現，這“一個”定義域可以是不同的，再讓學生思考他們所關心的函數是否相同，進而說明題中所說的函數是一個類.如此，學生應該逐漸領悟定義中的一些詞句.值得一提的還有，學生從文字描述到符號描述過渡，也需要一定的時間和實踐來完成，所以，純粹的符號語言不要給得過早.

其次，引入具體事例，比如乘出租車的費用、峰谷制用電收費等，讓學生自己解決實際問題，并從中認識到分段函數的價值，而不應該一開始就研究類似“y=x2(x>1)

2-x(x≤1)”的人為分段函數.結合函數性質，可以讓學生逐漸認識到函數的分類（應該弄清楚不同的分類標準），這一過程就是分化和類化不同刺激模式.

涉及具體函數類后，也需要經歷由具體到抽象的過程，并以此達到類別屬性在學生頭腦中的穩定狀態.比如，要引導學生自行鑒別指數函數和冪函數的不同屬性，等等.以下著重說明三角函數的概念的形成與教學設計.

三角函數的發展歷程比較復雜，但是我們可以略去歷史上的“坎坷”，而讓學生從自然現象和實際問題中感受到周期的概念，因為三角函數實際上是一類周期現象的數學模型.有不少教師在引入三角函數時，會忽略教材中有關周期現象的描述，如水車、摩天輪、潮汐現象、太陽光線射角的變化規律等自然現象和實際問題，他們的理由是“浪費時間”，但這一忽略卻錯過了學生對三角函數本質屬性的認識

機會，從而也導致在處理實際問題時，不能順利地建立三角函數模型，也就使這一學習過程失去了實際意義.

章建躍曾這樣說：三角函數是刻畫周期現象的數學模型，是勻速圓周運動的本質表現；角是“轉”出來的，與單位圓上的點(x,y)可以建立一種對應關系；研究勻速圓周旋轉最重要的是……三角函數是圓的幾何性質的代數表示.這一段話道出了在幫助學生建立三角函數概念，以及認識三角函數的順序等.前面提到的四個周期現象的例子中，前兩個就是勻速圓周運動，后兩個則是這種現象的另一類表現形式，因此這兩例應該在學生認識三角函數概念以后再引入.筆者在課堂教學實踐中就是采用這樣的順序或模式，首先與學生共同考察勻速圓周運動，關心圓周上一點的變化規律，在平面直角坐標系中實現這一規律，用幾何的方法找出相應的數量關系，再表述為代數表達式，如“單位圓上一動點的縱坐標與其旋轉角θ的關系是怎樣的”，在實施教學的過程中，著意實現“三角函數從單位圓中來，再到單位圓中去”的過程，從而也就實現了學生能夠自覺地運用單位圓來探究三角函數的圖像、性質，而不再是以往“單位圓是研究三角函數的一個有效工具”的觀點.在研究其圖像時，沒有放過“勻速圓周運動可以表現出正弦曲線”轉化機會，而且在這一轉化過程中，還可以讓人感受到，幾何圖形是代數關系的變現形式，同一個幾何現象可能有不同的代數刻畫，這樣一來，再去理解后兩個周期現象就不難了.在教學過程中，我們還可以利用適當的時機指導學生認識到，三角函數的很多性質實際是來源于單位圓！從實際教學效果來看，學生確實能夠接受并牢固掌握三角函數這一本質，也使得教學難點得以化解.

四、體會與感想

在高中課堂教學中，如果抓不住數學概念的核心，不能保持前后一致、貫穿始終的數學思想主線，在學生沒有基本了解數學概念和思想方法時就陷入枯燥而且量大的解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節上耗費學生的寶貴時間，數學課堂中效益、質量“雙低”.學生花大量時間學數學，做無數的練習，但數學基礎仍很脆弱，離手就忘.

五、努力的方向

我們的有效性教學還處在一個發展階段，作為教師還需要不斷地學習、研究數學概念教學，尤其是核心概念的教學.這就要求教師本身研究核心概念以及概念的核心，研究概念在數學中的地位和功能，研究概念的發展歷程，把握概念之間的聯系和脈絡，整體地認識初高中數學的知識體系和學生的認識規律，從而認識到學生的認識體系，提高教師駕馭教材、使用教材、設計教學的能力.總之，概念的發展歷程決定著概念的教學設計.

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章建躍.中學數學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2007.