新課程標準下合情推理能力的培養

姚文全

【摘要】新課程實施綱要指出：新課程應著重培養學生的創新精神和實踐能力，合情推理能力的培養正是實現這一目標的重要手段.在教學實踐中，通過創設問題情境，引導學生細心觀察；數形轉換結合，激發學生思維；在歸納或類比的過程中，加深知識理解和能力遷移，強化合情推理的意識，提升思維能力，從而培養學生的創新精神和實踐能力.

【關鍵詞】變式訓練；數形結合；歸納猜想；類比聯想オ

一、合情推理

合情推理就是從具體的事實經驗出發，通過觀察、實驗、直觀感知、類比聯想、歸納猜想等手段進行的一種推理.主要形式包括歸納推理、類比推理和統計推理，其中歸納推理和類比推理是兩種應用最廣泛的特殊的合情推理.

二、培養學生合情推理的意義和步驟

數學建構主義認為：知識并非是主體對客體的被動的鏡面式的反映，而是一個主動的建構過程.學習者通過不斷對各種信息進行加工、轉換，形成假設，所以合情推理是數學建構主體思維的關鍵步驟，也是必不可少的思維方法.合情推理是演繹推理的前奏，演繹推理是合情推理的升華，作為數學邏輯思維的重要組成部分，在教學過程中要特別注重采用適當的途徑強化合情推理的意識，培養學生合情推理的能力.

三、培養學生合情推理能力的途徑

(一)創設問題情境，培養學生的觀察能力，激發合情推理意識

美國著名數學教育家波利亞曾指出：“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置.”因此在教學中要從知識發生的過程設計合情推理的問題情境，留給學生足夠的推理與猜想的時間，讓學生通過合作交流或獨立探究自主發現規律，從而獲取新知，充分展示學生的思維過程，有利于學生理性思維的提高.

(二)強化變式訓練，培養合情推理能力

變式訓練主要是通過對已有問題的推廣引申，達到知識遷移、能力提升的目的，變式訓練是培養合情推理能力的重要渠道.

典例1 （直線與圓的位置關系的變式訓練設計）

問題：自點A(-1,4)作圓（x-3)2+(y-4)2=1的切線L，求切線L的方程.

課堂上學生對這個問題的解答，思維活躍，方法多樣，此時要能注意抓住這良好契機，適時引導學生深入思考：①若圓的位置不動，點的位置改變；②若圓的位置改變，點的位置不變；③若圓的位置、大小和點的位置改變.試作出合情推理，能得到什么結論？

變式1：若圓的方程為單位圓x2+y2=1，求經過圓上任一點P(x0,y0)的切線方程.

變式2：若圓的方程為x2+y2=1，求經過圓外任一點㏄(x0,獃0)的切線方程.

變式3：若圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2，求經過圓上任一點P(x0,y0)的切線方程.

變式訓練可以有效發散學生思維，激發學生作出合情推理的熱情，從而形成合情推理的能力.

(三)特殊值引導，帶動合情推理

合情推理中的歸納推理，指的是由某類事物的部分對象所具有的某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般性的推理，即由部分到整體，由個別到一般的推理.在探尋求解某些問題的過程中，特殊值起到引領的作用.

(四)數形結合，有助于養成合情推理的習慣

數形轉化就是通過數與形的相互轉化來解決數學問題，數形結合兼有數的嚴謹與形的直觀，利用數形轉化可使復雜問題簡單化、抽象問題直觀化，通過數形相互轉換，得到問題的多解、巧解.“他山之石可以攻玉”，可以激活學生思維、產生直覺判斷，從而引導學生主動聯想，大膽假設推理，形成合情推理的能力，養成合情推理的習慣.

典例2 若Ax+By+C=0,試求函數f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2+(x-c)2+(y-d)2的最值.

本題表面看是函數類型題，若是利用函數的思路求解，顯得繁雜冗長.這時若引導學生通過數形轉換，從代數解法聯想到幾何解法，把這個問題轉化為直線Ax+By+C=0上的點到兩點（a,b）及(c,d)距離之和的最值問題，只需在直角坐標平面上即可通過對稱畫圖得到正確答案.

(五)由此及彼，求同存異，類比聯想，培養合情推理能力

合情推理中的類比推理，指的是在兩類不同事物之間進行對比,找出若干相同或相似點之后,推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式.

典例3 利用圓的性質類比得出球的性質.

圓的性質[]球的性質

圓的周長C=2π玆[]球的表面積S=4π玆2

圓的面積S=π玆2[]球的體積V=4[]3π玆3

與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長[]與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大

綜上，在教學的過程中，既要引導學生學會細心觀察、大膽猜測，作出合情推理，又要能加以嚴格證明，強化推理訓練.讓學生的思維能夠自由拓展，猜測數學的規律，提高數學素養.オ

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.數學課程標準.北京：北京師范大學出版社.

［2］柯梅.自主 合作 探究.福建中學數學,2003(3).

［3］殷偉康.新課程理念下的合情推理教學.中學數學教學參考,2007(3).