用元素法求解曲面面積時的一個誤區

王蘇華

【摘要】定積分的元素法關鍵是正確給出部分量Δ玌的近似表達式“f(x)玠玿”，然而在用元素法求曲面面積時，很多學生會忽略“Δ玌-f(x)玠玿應為玠玿的高階無窮小”這一條件.本文通過一個典型錯解分析了問題產生的原因，說明驗證該條件的重要性.

【關鍵詞】元素法；定積分；曲面面積；高階無窮小

【基金項目】江蘇科技大學引進人才科研啟動基金項目資助オ

定積分的元素法（也稱微元法）是解決積分應用問題的有用工具，是將定積分理論應用到解決幾何、物理、工程以及經濟管理等學科的重要分析方法，對工科學生有重要意義.另一方面，諸如重積分和曲面積分等一些多元積分利用元素法則可直接轉化為定積分，從而簡化了積分計算.因此，教師在教學過程中應多提倡學生使用元素法解決問題.

在教材［1］“定積分的應用”這一章中介紹了定積分的元素法.教材中指出，元素法的理論是建立在如下基礎上的：

（1）所求量U是與一個變量x的變化區間［a,b］有關的量；

（2）U對于區間［a,b］具有可加性，就是說，如果把區間［a,b］分成許多部分區間，則U相應地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量Δ玌璱的近似值可表示為f(ξ璱)Δ玿璱，那么就可以考慮用定積分來表達這個量U.

從以上敘述可以看出，元素法的關鍵是正確給出部分量Δ玌璱的近似表達式“f(ξ璱)Δ玿璱”.通常我們稱這個近似表達式為所求量U的“元素”或“微元”，記作“f(x)玠玿”.

許多學生在求解一些曲面的面積時，會嘗試用定積分的元素法，這就需要找到恰當的“面積元素”.筆者在教學過程中常會碰到學生因為選擇了錯誤的面積元素而得到錯解.下面我們用一個簡明而典型的例子來說明.

圖 1例 計算半徑為1的上半球體的表面積S.

這個問題利用球體表面積公式立得答案S=1[]2S球=2π.但有學生嘗試用定積分的元素法求面積時，得到以下錯解：

錯解 所求面積S是與變量z的變化區間［0,1］有關的量，且S對于區間［0,1］具有可加性.將［0,1］分成許多部分區間，則S相應地分成許多部分量，簡記為Δ玈.顯然，通過上述劃分，Δ玈是類似環形的帶狀曲面面積（如圖1）.用以這個帶狀曲面的下圓周（半徑為1-z2）為底，以玠珃(=Δ珃)為高的圓柱面面積近似代替Δ玈，于是得面積元素玠玈=2π1-z2玠珃.則

S=А要102π1-z2玠珃=2πА要π玔]20И玞os2θ玠θ=π2玔]2.

顯然，這樣的解法是錯誤的，錯的關鍵在于面積元素找錯了.那么，為什么不能用圓柱面的面積來近似代替原帶狀曲面的面積呢？教材［1］第274頁的腳注告訴我們“部分量Δ玌應與近似值f(x)玠玿相差一個比玠玿高階的無窮小”，實際上這個條件也是微分定義中的一個重要條件.但在通常情況下，要檢驗Δ玌-f(x)玠玿是否為玠玿(也就是Δ玿)的高階無窮小往往不是一件容易的事，甚至包括教材在內的很多參考書籍的例題中都沒有對這一條件作具體討論.因而學生在解此類問題時也只注意找一個小的近似量來代替原來的部分量，并認為分割越細，近似程度越高，卻忽略了對這一重要條件進行驗證.下面我們對例題中選取的近似表達式“玠玈=2π1-z2玠珃”的錯誤進行驗證.首先要計算出部分量Δ玈的精確表達式，利用第一類曲面積分來計算Δ玈.設∑為圖1中的帶狀曲面，D﹛y為其在xOy面的投影.則有

Δ玈=К氌∑И玠玈=К隓﹛y1+z2瓁+z2瓂玠玿玠珁

=К隓﹛y1+x2[]1-x2-y2+y2[]1-x2-y2玠玿玠珁

=К隓﹛y1[]1-x2-y2玠玿玠珁

=А要2π0И玠θА要1-z21-(z+Δ珃)2r[]1-r2玠玶

=2πΔ珃2+4π珃Δ珃.

于是Δ玈-玠玈=2πΔ珃2+4π珃Δ珃-2π1-z2Δ珃，從而有：

┆玪imΔ珃→0Δ玈-玠玈[]Δ珃=4π珃-2π1-z2≠0.

由此看出，玠玈=2π1-z2玠珃與Δ玈相差的不是Δ珃的高階無窮小，所以用圓柱面面積“2π1-z2玠珃”作為Δ玈的近似表達式是不正確的.實際上，在使用元素法求一些曲面面積時，我們盡量避免選擇類似帶狀曲面作為部分量，并用圓柱面來近似代替.如果選取了此類圖形，則應注意考慮是否合理，在必要且可能的情況下，應進行驗證.

從上述問題可以看出，“Δ玌-f(x)玠玿應為玠玿的高階無窮小”這一條件是非常重要的.但因其驗證往往比較繁瑣甚至困難，教師在講授時常常會無意中淡化其重要性，從而導致學生解題時會忽略這一條件.筆者認為，盡管沒有必要也不可能要求學生解題時去驗證這個條件，但教師在講授元素法時應舉一些易驗證的例子以加深學生對元素法的理解.オ

【參考文獻】オ

同濟大學數學系.高等數學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.