一種求1∞型未定式極限的簡便方法

王群智

【摘要】兩個重要極限是《高等數學》中求極限的主要方法之一，但利用其中第二個重要極限求其他較復雜的1∞型未定式極限過程相當繁瑣，初學者很難掌握.本文給出了一種求這類極限的簡便方法，不但行之有效，而且方便易學，相信會對求這類極限起到事半功倍的作用.

【關鍵詞】兩個主要極限；1∞型未定式；簡便方法；對比オ

在《高等數學》中，利用兩個重要極限求其他極限是求極限的重要方法.但其中凡能利用第一個重要極限﹍im玿→0玸in玿[]x=1求出的極限，均可利用等價無窮小量代換簡便求出；而利用第二個重要極限﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡（或﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡）求其他極限時顯得非常繁瑣，學生很難在短時間內掌握.比如下面兩例中，通常的解法是這樣的：

例1 求﹍im玿→∞1-1[]x3x+5.

解 令t=-x，則當x→∞時，有t→∞，于是有

﹍im玿→∞1-1[]x3x+5=﹍im玹→∞1+1[]t-3t+5=﹍im玹→∞1+1[]t瑃

-3?﹍im玹→∞1+1[]t5=玡-3?15=玡-3.

例2 求﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x.

解 ﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x=﹍im玿→0（1-2x）1[]x[]﹍im玿→0(1+3x)1[]x=﹍im玿→0(1-2x)-1[]2x-2猍]﹍im玿→0(1+3x)1[]3x

3=﹍im玹→0(1+t)1[]t

-2猍]﹍im玸→0(1+s)1[]s

3=玡-2猍]玡3=玡-5.

其中t=-2x，s=3x.

從上面求解過程可以看出，例1中用到了第二個重要極限的第一種形式：﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡，例2中用到了第二個重要極限的第二種形式：﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡.這兩種形式的本質是相同的，都屬于1∞型未定式，但求解過程比較繁瑣.下面給出求這類極限的一種簡便方法.

定理1 設對于函數f(x)與g(x)，有玪im玣(x)=┆玪im玤(x)=∞，且玪im玤(x)[]f(x)=A，其中A為常數，則玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)=玡獳.

證 令h(x)=1+1[]f(x)

ゞ(x)，ピ顙玪n玥(x)=g(x)玪n1+1[]f(x)

.

由定理假設可知f(x)為無窮大量，則1[]f(x)為無窮小量，ス濕玪n1+1[]f(x)

~1[]f(x)，于是

玪imln玥(x)=玪im玤(x)玪n1+1[]f(x)

=玪im玤(x)[]f(x)=A.

從而有

玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)=玪im玥(x)=玪im玡┆玪n玥(x)=玡┆玪imln玥(x)=玡珹.

定理2 設對于函數f(x)與g(x)，有玪im玣(x)=﹍im玤(x)=0，且玪im玣(x)[]g(x)=A，其中A為常數，則玪im［1+ゝ(x)］1[]g(x)=玡珹.

證 令h(x)=［1+f(x)］1[]g(x)，則玪n玥(x)=1[]g(x)玪n［1+ゝ(x)］.

由定理假設可知f(x)為無窮小量，則玪n［1+f(x)］~ゝ(x)，于是

玪imln玥(x)=玪im玪n［1+f(x)］[]g(x)=玪im玣(x)[]g(x)=A.

從而有

玪im［1+f(x)］1[]g(x)=玪im玥(x)=玪ime┆玪n玥(x)=玡┆玪imln玥(x)=玡珹.

從定理1和定理2可以看出，雖然兩定理所求極限形式不同，但本質是相同的，所求極限最終均為1∞型未定式，并且其結果均表現為：玪im1+1[]f(x)

ゞ(x)和玪im［1+f(x)］1[]g(x)兩式方括號內1后所加部分與方括號的指數部分乘積的極限為幾，所求極限的結果就為玡的幾次方.用這種方法求1∞型未定式極限，既簡單快捷又方便實用.下面就用這種方法對例1、例2再求解，在對比中體會一下這種方法的簡便快捷.

例1 求﹍im玿→∞1-1[]x3x+5.

解 ﹍im玿→∞1-1[]x3x+5=﹍im玿→∞1+1[]-x

3x+5=玡┆﹍im玿→∞3x+5[]-x=玡-3.

例2 求﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x.

解 ﹍im玿→01-2x[]1+3x1[]x=﹍im玿→01+-5x[]1+3x1[]x=玡┆﹍im玿→0-5x[]1+3x?1[]x=玡┆﹍im玿→0-5[]1+3x=玡-5.

下面再用這種簡便方法求幾個極限，這幾個極限若直接用第二個重要極限求解都相當繁瑣.

例3 求﹍im玿→∞x[]1+x2x+1.

解 ﹍im玿→∞x[]1+x2x+1=﹍im玿→∞1+-1[]1+x2x+1=玡┆┆﹍im玿→∞-2x-1[]1+x=玡-2.

例4 求﹍im玭→∞1+1[]n+1[]n2琻.

解 ﹍im玭→∞1+1[]n+1[]n2琻=﹍im玭→∞1+n+1[]n2琻=玡┆┆﹍im玭→∞n(n+1)[]n2=玡.

例5 求﹍im玿→0(玞os玿)1[]1-玞os玿.

解 不難看出，所求極限也屬于1∞，此時令t=1-玞os玿，則當x→0時，t→0+，于是，有

﹍im玿→0(玞os玿)1[]1-玞os玿=﹍im玹→0+(1-t)1t=玡┆┆﹍imt→0+-t[]t=玡0=1.

從以上各例的求解方法與傳統的求解方法對比可以看出，定理1和定理2所介紹的方法，確實是求1∞型未定式極限的一種簡便、實用且有效的方法.