一道填空題引發的教學思考

孫 榮

無錫市2011年期末考試結束后，我對試卷進行了分析，希望通過試卷的分析對我今后的教學有所幫助.一道填空題引起了我的注意.因為我發現這道填空題和壓軸的填空題是類似的，但學生卻很難發現，所以兩道題的正確率有天壤之別，一個是96%,另一個卻只有12%.于是我拿了試卷在學生中進行了問卷調查.

例1 （無錫市2011年期末考試填空題12）

不等式x+1[]x

≥|a-2|+玸in珁對一切非零實數x,y均成立，則實數a的范圍為.

這一道題目對大多數同學來說都比較容易，解題過程如下：

解 ∵x+1[]x≥2①,

∴|a-2|+玸in珁≤2②.

∴玸in珁≤2-|a-2|③.

又 ∵玸in珁的最大值為１④，

∴2-|a-2|≥1⑤.

∴1≤a≤3.

我問學生是怎么做的，他只能回答我是恒成立問題，通過參變分離轉化為求函數的最值.但當我再問他為什么第１３題和這道題目是一樣的題型卻沒做出來時，他驚訝地看著我：“難道這兩道題是一個題型？”為了解決他的疑惑，我耐心地為他解答了第13題.

例2 （無錫市2011年期末考試填空題13）

已知函數ゝ(x)=獂2+2x，若存在實數t,當x∈［1,m］時，f(x+t)≤3x恒成立，則實數m的最大值為.

解 由題意得：對衳∈［1,m］,(x+t)2+2(x+t)≤3x恒成立.①

即對衳∈［1,m］,x2+(2t-1)x+t2+2t≤0恒成立.②

構造g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,ビ啥次函數圖像可得：

∵g(1)≤0,

g(m)≤0,

③∴-4≤t≤0,

m2+(2t-1)m+t2+2t≤0.

④

∴鰐∈［-4,0］,t2+(2+2m)t+m2-m≤0.⑤

構造h(t)=t2+(2+2m)t+m2-m,⑥

當-m-1≥0,即m≤-1,m2-m≤0，得0≤m≤1不成立.

當-m-1≤-4,即m≥3,m2-9m+8≤0，得1≤m≤8.

∴3≤m≤8.

當-1

綜上所述，m的最大值為8.

學生更加困惑了：“我沒發現是同一個題型啊，我只覺得既有存在問題，又有恒成立問題，把我都弄糊涂了，所以沒找到突破口.”“突破口就在第12題啊.”其實學生在做12題從第一步到第二步的過程中，無意中把變量y看成了常數，而第二步到第三步的過程中恢復了y是變量的“身份”.那學生的“潛意識”中還是習慣于一個變量的恒成立問題，但這恰恰是解決本題的關鍵.那也就是說兩個變量的問題，有時可以先把其中一個看成變量，另一個看成常量，從而使自己的解題思路更加清晰.那么第13題雖然既有存在問題又有恒成立問題，但不妨也可視作兩個變量的題型，這正是兩個題目的“共性”.所以我先把13題中t看成常數，那就是關于自變量x的恒成立問題（第②步），而處理完恒成立問題后就可把他看成是一道關于自變量t的存在性問題（第⑤步）.“這樣思路看上去是不是就是一樣的啦？”學生有所領悟.

通過這兩道填空題的比較我發現學生對函數中多變量問題的題型比較薄弱.為了讓學生更好地理解對該類問題的處理方法，我給出了作業中的一個例題給學生.

例3 《2011年江蘇專版南方鳳凰臺——配套檢測與評估》（專題一第5課時第10題）

已知函數f(x)=x玪n玿,a>0,゜>0，求證：f(a)+(a+b)玪n2≥ゝ(a+猙)-f(b).

證法一 單變量構造法

要證f(a)+(a+b)玪n2≥f(a+b)-f(b),

即證f(a)+(a+b)玪n2-f(a+b)+f(b)≥0.

即證a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝≥0.

不妨設b>a>0,

把b看成自變量，把a看成常數，構造

g(b)=a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝.

g′(b)=玪n2-(玪n(a+b)+1)+1+玪n玝=玪n2b[]a+b.

∵b>a>0,∴2b[]a+b>1，∴g′(b)>0.

∴g(b)在(0,+∞)上單調遞增.

∴g(b)>g(a)=0.得證.

證法二 整體構造法

要證f(a)+(a+b)玪n2≥f(a+b)-f(b),

即證a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝≥0.

即證a玪n玜+a玪n2-a玪n(a+b)≥-b玪n2+b玪n(a+b)-b玪n玝.

即證a玪n2a[]a+b≥b玪n玜+b[]2b.

即證玪n2a[]a+b≥b[]a玪n玜+b[]2b.

令t=b[]a,即證玪n2[]1+t≥t玪n1+t[]2t.

構造f(t)=玪n2[]1+t-t玪n1+t[]2t=t玪n2t+玪n2-(t+1)玪n(1+t).

∴f′(t)=玪n2t[]1+t=0,

∴t=1.

∴f(t)在(0,1)上單調遞減，(1,+∞)上單調遞增.

∴f(t)最小值為f(1)=0.

即f(t)≥0.得證.

這時學生才恍然大悟.雖然是三道不同的例題，卻是異題同構，解題的思路如出一轍，這就是題目本身存在的“共性”，這也正是學生希望得到的所謂學習數學的“捷徑”.但“捷徑”的背后需要我們不斷去探索，所以多挖掘題目本身存在的“共性”，就能實現“以一抵百”，讓學習變得輕松一點，勝人一籌.