利用極坐標計算二重積分的方法和技巧

袁 榮

【摘要】利用極坐標計算二重積分是高等數學的重點，也是難點.本文總結了利用極坐標計算二重積分的條件和一般步驟，著重介紹了如何寫出積分區域D在極坐標系下的不等式組表示的方法和技巧.

【關鍵詞】二重積分；極坐標；積分區域

【中圖分類號】玂172オ

計算二重積分的一般方法是先選擇適當的坐標系，然后利用所選擇的坐標系將二重積分化為累次積分，最后通過計算單積分求得二重積分；而化為累次積分的難點是積分上下限的確定.本文就極坐標系下的二重積分的計算談一點體會.

一、選用極坐標計算的條件

通常的情形是以直角坐標給出需要計算的二重積分，那么何時選用極坐標系來計算二重積分呢？一般來說，積分區域的邊界曲線用極坐標方程表示比較簡單的時候（如積分區域是圓盤、圓環、扇形，或為由心形線、雙紐線等圍成等），或者被積函數用極坐標表示比較簡單的時候(如被積函數是f(x2+y2)，fy[]x或fx[]y的形式等)，可以考慮選用極坐標.

二、寫出極坐標系下積分區域D的不等式組表示

在采用極坐標計算二重積分時，通常都將它化為先對r、后對θ的累次積分，并且按極點O在積分區域之外、在積分區域的邊界上與在積分區域之內三種不同的情形來確定對θ積分的積分上下限與對r積分的積分上下限，即將D在極坐標下表示的不等式組寫出來.具體步驟一般如下：

（1）先根據題設條件畫出積分區域D的草圖；

（2）以坐標原點O為極點，x軸為極軸建立極坐標系，然后從O出發引射線穿過積分區域D，且射線與D的邊界最多兩個交點(部分邊界與射線重合的除外,否則將D分塊)，確定θ∈［α,β］；

（3）取定θ∈［α,β］，D中幅角為θ的點的極半徑r從﹔1(θ)變到r2(θ)，于是

D的極坐標表示的不等式組可寫為D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

則К隓f(x,y)玠玿玠珁=К隓f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶玠θ

=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)Иゝ(r玞osθ,猺玸inθ)r玠玶.

在教學中發現，不少學生不懂如何將D在極坐標系下的不等式組表示寫出，這是造成二重積分困難和錯誤的最大原因.

1.極點在積分區域D外或極點在積分區域D內

D的極坐標表示的不等式組一般較容易寫出，一般為

D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

則オК隓f(x,y)玠玿玠珁=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶.

2.極點在積分區域D的邊界上

極點在積分區域D的邊界上時,不少學生誤以為0≤│取塥β,比如下面的例1.

例1 設二重積分I=К隓f(x,y)玠玿玠珁,其中積分區域D是由曲線y=x+x2與直線y=3x所圍成的有界閉區域，將二重積分I化為極坐標形式的二次積分.

圖 1解 積分區域D如圖1陰影部分：此題容易出錯的是θ的范圍，常錯誤的以為0≤θ≤π玔]3，其實因為x軸在坐標原點與曲線y=x+x2和直線y=3x都不相切，所以θ≠0.易知曲線﹜=獂+x2上點的幅角范圍就是θ的取值范圍，因此在曲線y=x+x2上任取一點P(x,y)，令┆玹anθ=獃[]x，而y=﹛+獂2,0≤x≤3-1.

所以玹anθ=y[]x=x+x2[]x=1+x，從而1≤玹anθ=1+x≤3，即π玔]4≤θ≤π玔]3.

К隓f(x,y)玠玿玠珁=А要π玔]3π玔]4И玠θА要(玹anθ-1)玸ecθ0f(ρ玞osθ,ρ玸inθ)ρ玠ρ.

此題求幅角θ的取值范圍的方法具有一般性，也是寫出積分區域D在極坐標系下的不等式組表示的常用方法和技巧.

例2 求積分區域D={（x,y）|x2+y2≤2x}在極坐標系下幅角θ的取值范圍.

解 因為積分區域D如圖2陰影部分：

圖 2オ

因為極點在積分區域D的邊界上,且曲線x2+y2=2x上點的幅角范圍就是θ的取值范圍，因此在曲線x2+y2=2x上任取一點P(x,y)，令玹anθ=y[]x，而y=±2x-x2,0≤﹛≤2.

所以玹anθ=y[]x=±2x-x2[]x=±2[]x-1，

從而-∞≤玹anθ≤+∞，即-π玔]2≤θ≤π玔]2.

三、靈活選擇積分次序

利用極坐標計算二重積分時，一般選擇先對r積分后對θ積分，但還應注意被積函數的特點，靈活選擇積分次序.

例3 利用極坐標計算：I=К隓x玡瑈玠σ，其中D是圓周﹛2+獃2=1所圍成第一象限部分.

解 易見D的極坐標表示的不等式組為

D：0≤θ≤π玔]2,

0≤r≤1.

則К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要π玔]20И玞osθ玠θА要10r2玡﹔玸inθ玠玶，ビ捎詎А要10r2玡﹔玸inθ玠玶不易算出，因此考慮交換積分次序.

故К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要10И玠玶А要π玔]20r2玡﹔玸inθ玞osθ玠玶=А要10r玠玶玡﹔玸inθπ玔]20=おА要10r(玡瑀-1)玠玶=1[]2.

通過上述例題可以看出利用極坐標計算二重積分的方法和技巧還是很強的，為了學好二重積分的計算，需要掌握一定的方法和技巧.

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［1］曹廣福等編.高等數學(二)［M］.北京：高等教育出版社,2009.

［2］同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）［M］.北京：高等教育出版社,2002.

［3］鄭兆順.談二重積分的計算［J］.河南教育學院學報,2007(16)：2.