淺談復(fù)數(shù)的開方運算

陸星 王穎

【摘要】數(shù)域的擴(kuò)充，給很多原本很難解決的問題帶來了新的思路，但初學(xué)復(fù)數(shù)時，又常常會碰到與實數(shù)中不太一致的地方.本文從開方運算這一方面來討論一下復(fù)數(shù)與實數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】復(fù)數(shù)；開方運算オ

數(shù)域從實數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，使負(fù)數(shù)不能開根號這個問題得到了解決.復(fù)數(shù)的引入也給很多領(lǐng)域帶來了方便，促進(jìn)了科學(xué)和工程的極大發(fā)展.但我們初學(xué)復(fù)數(shù)時卻會碰到一些小小的問題，先來看一看下面兩道題：

-1×-1=?(Ⅰ)

(-1)×(-1)=?(Ⅱ)

其中一種解法是：

-1×-1=玦2×玦2=(±玦)×(±玦)=±1.

(-1)×(-1)=1=1.

這是我們最容易想到的一種解法，因為復(fù)數(shù)引入時用的就是玦2=-1.但若想到另一種表示方法——玡┆玦π=-1，則有下面的一種解法：

-1×-1=玡﹊π×玡﹊π=玡﹊1[]2π×玡﹊1[]2π=玡﹊π=-1.

(-1)×(-1)=玡﹊π×玡﹊π=玡﹊2π=玡﹊π=-1.

兩種方法的結(jié)果截然不同，特別是在第二種解法中，（Ⅱ）的結(jié)果竟然為-1，這與我們的常識有悖：在實數(shù)域中，(Ⅱ)式結(jié)果顯然為1.數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域，結(jié)果卻變成了-1，是不是這種推廣有問題呢？如果不是，結(jié)果為什么會不一樣呢？

在繼續(xù)討論之前，我們先來仔細(xì)看看復(fù)數(shù)的幾種表示方法：

代數(shù)式：復(fù)數(shù)z=x+玦珁，其中x，y為實數(shù)；

三角式：

復(fù)數(shù)z=ρ(玞osφ+玦玸inφ)，其中ρ為復(fù)數(shù)z的模，φ為復(fù)數(shù)z的輻角；

指數(shù)式：

復(fù)數(shù)z=ρ玡﹊φ，其中ρ為復(fù)數(shù)z的模，φ為復(fù)數(shù)z的輻角.

需要注意的是，一個復(fù)數(shù)的輻角值不能唯一確定，可以取無窮多個值，并且彼此相差2π的整數(shù)倍.通常記φ=獳rg珃，并規(guī)定，以玜rg珃表示其中滿足條件-π<獳rg珃≤π

的一個特定值，并稱玜rg珃為獳rg珃的主值，或z的主輻角.于是有：

φ=獳rg珃=玜rg珃+2kπ,k=0,±1,±2,±3，….

這個時候，我們或許會發(fā)現(xiàn)，前面的問題出在輻角上，我們不妨這樣來做：

-1×-1=玡┆玦(π+2k1π)×玡┆玦(π+2k2π)=玡┆玦1[]2(π+2k1π)×玡┆玦1[]2(π+2k2π)=玡┆玦［π+(k1+k2)π］=玡┆玦π玡┆玦(k1+k2)π.

當(dāng)(k1+k2)為偶數(shù)時，上式=-1；當(dāng)(k1+k2)為奇數(shù)時，上式=1.

(-1)×(-1)=玡┆玦(π+2k1π)×玡┆玦(π+2k2π)=玡┆玦［2π+2(k1+k2)π］=玡┆玦［π+(k1+k2)π］=玡┆玦π玡┆玦(k1+k2)π.

當(dāng)（k1+k2)為偶數(shù)時，上式=-1；當(dāng)(k1+k2)為奇數(shù)時，上式=1.

這樣，在復(fù)數(shù)域的結(jié)果就包含了實數(shù)域的結(jié)果.另外，有一種錯誤做法需要注意：

-1×-1=玡┆玦(π+2kπ)×玡┆玦(π+2kπ)=玡┆玦1[]2(π+2kπ)×玡┆玦1[]2（π+2kπ）=玡┆玦［π+2kπ］=玡┆玦π=-1.

(-1)×(-1)=玡┆玦(π+2kπ)×玡┆玦(π+2kπ)=玡┆玦［2π+4kπ］=玡┆玦［π+2kπ］=玡┆玦π=-1.

這里出現(xiàn)的問題反映了：兩個-1的輻角需要區(qū)別對待，k的取值并不完全一樣.

經(jīng)過上面的討論，我們可以肯定地說，從這個題目來看，數(shù)域從實數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域沒有問題.另外，這兩道題目也告訴我們，在進(jìn)行開方運算，選用指數(shù)式形式時，輻角應(yīng)該用獳rgz形式，而不能只用其主值玜rgz，否則將會產(chǎn)生錯誤.如果我們再仔細(xì)想想，便會發(fā)現(xiàn)實數(shù)中的根號 和復(fù)數(shù)中的根號 是有一定區(qū)別的，在實數(shù)中單用一個根號 ，表示的是取某個非負(fù)實數(shù)的算數(shù)平方根，其結(jié)果只能是一個值；而在復(fù)數(shù)中單用一個根號 ，則表示的是對某一個復(fù)數(shù)進(jìn)行開方運算（復(fù)數(shù)沒有正負(fù)之分，談不上算數(shù)平方根，因此其算數(shù)平方根是沒有意義的），其結(jié)果應(yīng)該是兩個值.那么從這個角度來看，（Ⅱ）的結(jié)果一定是兩個，而不是一個.這也進(jìn)一步印證了復(fù)數(shù)的n次方根有n個不同的值（原因很簡單，復(fù)數(shù)的輻角不唯一確定，k可取一系列的值，開n次方后，k/n就可以加減2π/n的整倍數(shù)，從而對于給定的復(fù)數(shù)，開n次方后，就會有n個不同的值）.