歸納方法在數(shù)學解題中的應用

朱自成

歸納的方法是認識事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段.這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗歸納，也就是在求解數(shù)學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗結果，然后以這些經(jīng)驗作基礎，分析概括這些經(jīng)驗的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思路.

例1 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然數(shù))，試問：這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，….若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形.可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個.

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表1.

表 1

a[]c[]三角形個數(shù)

2[]2，3[]2

1[]2[]1

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3.

(3)設b=n=3，類似地可得表2.

表 2

a[]c[]三角形個數(shù)

3[]3，4，5[]3

2[]3，4[]2

1[]3[]1

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6.

通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

1+2+3+…+n=n(n+1)[]2.

這個猜想是正確的.因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，…，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n).由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1).所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

1+2+3+…+n=n(n+1)[]2.

例2 設1×2×3×…×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1.

由此作出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我們證明這個猜想的正確性.

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

=2！×3+3！×3+…＋n！×n

=3！+3！×3+…+n！×nぃ健

=n！+n！×n=(n＋1)！，

所以原式=(n+1)！-1.

例3 設x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小.

分析與解 本題直接觀察不好作出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中作試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路.為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2.①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2.②

設x=100，則有x3＞x2+x+2.

觀察、比較①②兩式的條件和結論，可以發(fā)現(xiàn)：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2.

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”.為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，

(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x2+x+1)=0.

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，

所以x-2=0，所以x=2.

(1)當x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當0＜x＜2時，因為x-2＜0，x2+x+2＞0，

所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即x3-(x2＋x+2)＜0，

所以x3＜x2＋x＋2.

(3)當x＞2時，因為x-2＞0，x2+x+2＞0，ニ以(x-2)(x2+x+2)＞0，即x3-(x2＋x＋2)＞0，ニ以x3＞x2＋x＋2.

綜合歸納(1)(2)(3)，就得到本題的解答.

練習 平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點.試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？