一道2009年高考題的改編及多種解法

黃雪梅

【摘要】對2009年安徽省高考理科試卷第21題（Ⅱ）進行了改編，并給出三種解法.

【關鍵詞】高考題；改編；多種解法オ

題目 首項為正數的數列{a璶}滿足a﹏+1=1[]4(a2璶+3),n∈N+.(Ⅱ)若對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶,求a1的取值范圍.（安徽省2009年高考理科21題）

改編題目 首項為正數的數列{a璶}滿足a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］,a>1,n∈N+.若對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶,求a1的取值范圍.

解法一 由a﹏+1-a璶=1[]a(a璶-1)［a璶-(a-1)］知：

(1)當a>2時,一方面a﹏+1>a璶赼璶<1或a璶>a-1.另一方面，若0a-1,則a﹌+1>1[]a［(a-1)2+(a-1)］=a-1.

根據數學歸納法,0

a1>a-1詎゛璶>猘-1,衝∈N+.

綜上可知：對一切n∈N+,

都有a﹏+1>a璶0a-1.

(2)當a=2時,由a1>0,a﹏+1=1[]2(a2璶+1)以及數學歸納法,可得a璶>0,衝∈N+.故a﹏+1>a璶赼璶>0,a璶≠1.

另一方面,若a璳>0,a璳≠1,則

a﹌+1=1[]2(a2璶+1)≠1,a﹌+1>0.

由數學歸納法,a1>0,a1≠1赼璶>0,a璶≠1,衝∈N+.

綜上可知：對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼1>0,a1≠1.

(3)當1a璶赼璶>1或a璶

則0

若a璳>1,則a﹌+1>1[]a［12+(a-1)］=1.

由數學歸納法,01赼璶>1,衝∈N+.

綜上可知：對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶01.

解法二 a﹏+1-a璶=1[]a(a璶+a﹏+1)(a璶-a﹏-1).

由解法一知,a璶>0,衝∈N+.

因此a﹏+1-a璶與a璶-a﹏-1同號.ビ墑學歸納法,衝∈N+,a﹏+1-a璶與a2-a1同號.び a2=1[]a［a21+(a-1)］>a1,有

a21-aa1+(a-1)>0.

(1)當a>2時,0a-1.因此對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶0a-1.

(2)當a=2時,a1>0,a1≠1.因此對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼1>0,a1≠1.

(3)當11.因此對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶01.

解法三 首先a﹏+1-a璶=1[]a(a璶-1)［a璶-(a-1)］.

由解法一知a璶>0,衝∈N+.

由a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］可得：

a﹏+1-1=1[]a(a璶+1)(a璶-1),a﹏+1-1與a璶-1同號.

根據數學歸納法,衝∈N+,a﹏+1-1與a1-1同號.

由a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］可得：

a﹏+1-(a-1)=1[]a［a璶+(a-1)］［a璶-(a-1)］,

a﹏+1-(a-1)與a璶-(a-1)同號.

根據數學歸納法,衝∈N+,a﹏+1-(a-1)與a1-(a-1)同號.

(1)當a>2時,對一切﹏∈狽+

都有a﹏+1>a璶0a-10a-1.

(2)當a=2時,對一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼璶>0,a璶≠1赼1>0,a1≠1.

(3)當1a璶0101.