淺談有理數(shù)的巧算淺談有理數(shù)的巧算

吳銀花

現(xiàn)代數(shù)學論認為：數(shù)學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數(shù)學，數(shù)學教育寓于生活實際.要有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數(shù)學問題的聯(lián)系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發(fā)學生學習數(shù)學的求知欲，幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學基礎知識，并運用學到的數(shù)學知識去解決實際生活中的數(shù)學問題.

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)

=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我們得到了一個重要的計算公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算.

例1 計算3001×2999的值.

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999.

例2 計算103×97×10009的值.

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919.

例3 計算：24690[]123462-12345×12347.

分析與解 直接計算繁.仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及三個連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347.可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1).應用平方差公式化簡得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24690.

例4 計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析 式子中2，22，24…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)?(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)?(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…

=(232-1)(232+1)=264-1.

例5 計算：1-1[]221-1[]32…1-1[]921-1[]102.

分析 在前面的例題中，應用過公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個公式也可以反著使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本題就是一個例子.

解 原式=1+1[]2

1-1[]2

1+1[]3

1-1[]3

?…?1+1[]9

1-1[]9

1+1[]10

1-1[]10

=1+1[]2

1+1[]3

…1+1[]9

1+1[]10

×1-1[]2

?1-1[]3

…1-1[]9

1-1[]10

=

3[]2?4[]3?5[]4?…?10[]9?11[]9

1[]2?2[]3?3[]4?…?8[]9?9[]10

=11[]2?1[]10?11[]20.

通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處.下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化.

例9 計算：1[]2+1[]3+…+1[]19991+1[]2+…+1[]1998-1+1[]2+…+1[]19991[]2+1[]3+…+1[]1998.

分析 四個括號中均包含一個共同部分：1[]2+1[]3+…+1[]1998,我們用一個字母表示它以簡化計算.

解 設A=1[]2+1[]3+…+1[]1998,ピ蛟式=A+1[]1999(1+A)-1+A+1[]1999A=A+A2+1[]1999+A[]1999-〢+狝2+A[]1999=1[]1999.