高中數學中的函數與方程思想的關系及培養(yǎng)

張家珩

函數是高中數學中最重要的內容之一，它貫穿著中學代數的始終，成為高中數學的一條主線，注重函數與方程的思想方法的培養(yǎng)，也就成了高中數學教學的重點之一.

一、概念上的區(qū)別與聯系

函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f(x)＝0的解就是函數y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，也是函數的零點.函數y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通過方程進行研究.就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決.

函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點.

1.函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題.2.方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.方程的教學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.

二、函數與方程的關系

函數和方程是密切相關的，對于函數y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數式y＝f(x)看作二元方程y-f(x)＝0.函數問題（例如求反函數、求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數y＝f(x)的零點.

三、函數思想的培養(yǎng)

1.函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式.

2.數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要.

3.解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及二次方程與二次函數的有關理論.

4.立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函數表達式的方法加以解決.

另外，高三還要學導數，學好了可以幫助理解以前所學知識，學不好還會擾亂人的思路.高三中還需要注重函數與方程的思想方法的培養(yǎng)，這也是教學的重點.函數是刻畫客觀世界的一個基本數學模型.“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數學素質.幾何直觀能力是利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數學思想.培養(yǎng)學生幾何直觀能力，是新教材的要求，也是提高學生數學素質的要求.因此，對于函數的學習，應該與體會、感受和運用函數解決問題有機地結合起來.應該引導學生去思考函數的應用問題，特別是思考函數在日常生活和其他學科的應用.可以在教學中滲透數學建模的思想.

四、方程思想的培養(yǎng)

分析題目中的未知量，根據條件布列關于未知數的方程（組），使原問題得到解決，叫構造方程法，是應用方程思想解決非方程問題的極富創(chuàng)造力的一個方面.

例題 已知玹anα玹anβ=3，玹anα-β[]2=2，求玞os(α+β).

分析 由題設的表面信息，企圖由三角函數的恒等變形得到目標，將徒勞無功，極其艱難.因為欲求玞os(α+β)，必須先求玞osα，玞osβ，玸inα，玸inβ四個中間變量的值，然而題設僅有兩個方程，欲挖掘隱含，聯立求解，將非常費力，轉換思維角度，欲求玞os(α+β)，先求玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y這兩個未知數的值，轉換為建立關于x，y的方程組，由玹anα玹anβ=3，即y[]x＝3得到一個方程，再由玹anα-β[]2=2設法演化出含x，y的方程，問題便迎刃而解.

解 ∵玹anα-β[]2=2,ァ嗒玞os(α-β)=1-玹an2α-β[]2[]1+玹an2α-β[]2=-3[]5,

設玞osα玞osβ=x，玸inα玸inβ＝y，ァ鄕+y=玞os(α-β)=-3[]5,

y[]x=3,

解得x=-3[]20,

y=-9[]30.

∴玞os(α+β)=x-y=3[]10.

點撥解疑 ①本例是用方程思想解三角問題的范例.②若題目條件分散，聯系隱蔽，難于發(fā)掘或解題過程十分繁難，應主動應用基本數學思想方法，靈活轉換思維角度，尋求優(yōu)秀解法.