數學思想在解題中的幾種運用

張國明

數學科學的知識包括數學知識與數學思想方法兩部分.數學思想是人們對所學數學知識的本質認識，是從某些具體數學認識過程中提煉出的一些普遍存在的規律.數學思想方法是數學的靈魂，它反映在數學教學內容里面，體現在解決問題的過程之中，它是將知識轉化為能力的橋梁.只有運用數學思想方法，才能把數學知識和技能轉化為分析問題和解決問題的能力.

一、分類討論的思想

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研究對象，發展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置.所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.分類對象確定，標準統一，不重復，不遺漏，分層次，不越級討論.明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結，綜合出結論.

分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）進行科學分類（按照某一確定的標準在比較的基礎上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結果，分類時，應不重復，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結，整合得出結論.

例1 (2006年遼寧)已知函數f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|,則f(x)的值域是().

獳.［-1,1］ B.-2[]2,1

C.-1,2[]2D.-1,-2[]2

解析 f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|=玞os玿(玸in玿≥玞os玿),

玸in玿(玸in玿<玞os玿).

即等價于{玸in玿,玞os玿}┆玬in，故選擇答案獵.

點評 本題考查絕對值的定義、分段函數、三角函數等知識，同時考查了學生分類討論思想和估算能力.

二、數形結合的思想

數形結合思想是指將數(量)與圖形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略.數形結合思想可以使抽象的復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現出來.數形結合思想的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相適用的幾何圖形并利用圖形的特征和規律，解決數的問題；或將圖形信息部分或全部轉換成代數信息，削弱或消除形的推理部分，使要解決的形的問題轉化為數量關系的討論.其本質是：使抽象的數與直觀的圖互相聯系、互相滲透、互相轉化，使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，從而優化解題途徑.

基本方法：（1）數量關系問題轉化為圖形性質問題.（2）圖形性質問題轉化為數量關系問題.（3）數量關系與圖形性質相互對照、相互滲透實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖像的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.

例2 如果實數x,y滿足(x-2)2+y2=3,則y[]x的最大值為（）.

獳.1[]2 B.3[]3 C.3[]2 D.3

シ治 等式（x-2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為（2,0),半徑r=3（如圖），而y[]x=y-0[]x-0，則表示圓上的點(x,y）與坐標原點（0,0)的連線的斜率.如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖可見，當∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為玹an60°=3，選獶.

點評 利用數形結合思想解決問題，要注意數與形的完整結合，由數想形時，一定要準確、全面，特別是圖形一定要準確.

數形結合常用的輔助工具：數軸(直角坐標系)、兩點間距離公式、向量的模、函數的圖像、曲線的方程、直線的斜率與截距、二元一次不等式表示平面區域等.

三、函數與方程的思想

函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數各部分內容的內在聯系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題.所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組、解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎.

函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f(x)＝0的解就是函數y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進行研究.